Sage es un programa de código abierto para realizar cálculos en diversas áreas de las matemáticas, desde nivel básico hasta investigación. Aquí muestro algunos ejemplos para familiarizarnos con su uso. Oprime el botón ¡Calcular!.

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Un cálculo trivial:

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En el siguiente ejemplo aparece una barra que puedes deslizar para cambiar el exponente:

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Exponenciación:

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Factorización:

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Resolución de ecuaciones:

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Graficación de funciones de una variable:

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Graficación de funciones de dos variables (utiliza Java):

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En esta página se encuentran muchos otros ejemplos.

• Sea $F$ un campo y $V=F^{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\mid a_{1},\ldots,a_{n}\in F\}$. Definimos la suma en $V$ como

$$(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})+(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots,a_{n}+b_{n})$$

y el producto por escalares como:

$$\lambda(a_{1},\ldots,a_{n})=(\lambda a_{1},\ldots,\lambda a_{n}).$$

Con estas operaciones, $V$ es un espacio vectorial.

• Sea $F$ un campo cualquiera. Sea $V=F[x]$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $F$. La suma en $V$ es la suma usual. El producto por escalares se define como:

$$\lambda(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n})= \lambda a_{0}+\lambda a_{1}x+\lambda a_{2}x^{2}+\cdots+\lambda a_{n}x^{n}$$

Sea $F$ un campo. Decimos que $V$ es un espacio vectorial sobre $F$ si es un conjunto con dos operaciones, una suma $+\colon V\times V\to V$ y un producto por escalares $\cdot\colon F\times V\to V$ tales que:

V1:

La suma es conmutativa, es decir $v+w=w+v$ para todos $v,w\in F$.

V2:

La suma es asociativa.

V3:

Existe un elemento $0\in V$ tal que $v+0=0+v=v$ para todo $v\in V$. El elemento $0$ se llama elemento neutro.

V4:

Para todo elemento $v\in V$, existe un elemento $-v\in V$ tal que $v+(-v)=(-v)+v=0$. El elemento $-v$ se llama inverso aditivo de $v$.

V5:

Para todo $v\in V$ se tiene que $1v=v$.

V6:

Para todos $\lambda_{1},\lambda_{2}\in F$, $v\in V$ se tiene que $\lambda_{1}(\lambda_{2}v)=(\lambda_{1}\lambda_{2})v$.

V7:

Para todos $\lambda_{1},\lambda_{2}\in F$, $v\in V$ se tiene que $(\lambda_{1}+\lambda_{2})v=\lambda_{1}v+\lambda_{2}v$, y también, para todos $\lambda\in F$, $v_{1},v_{2}\in V$ se tiene que $\lambda(v_{1}+v_{2})=\lambda v_{1}+\lambda v_{2}$.

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Si $V$ es un espacio vectorial sobre $F$, a los elementos de $V$ se les llama vectores y a los elementos de $F$ se les llama escalares.

Definición y ejemplos

Definición

Un campo $F$ es un conjunto junto con dos operaciones binarias, una suma $+\colon F\times F\to F$ y un producto $\cdot\colon F\times F\to F$ tales que:

F1:

La suma es conmutativa, es decir $a+b=b+a$ para todos $a,b\in F$.

F2:

La suma es asociativa.

F3:

Existe un elemento $0\in F$ tal que $a+0=0+a=a$ para todo $a\in F$. El elemento $0$ se llama elemento neutro de la suma.

F4:

Para todo elemento $a\in F$, existe un elemento $-a\in F$ tal que $a+(-a)=(-a)+a=0$. El elemento $-a$ se llama inverso aditivo de $a$.

F5:

El producto es conmutativo.

F6:

El producto es asociativo.

F7:

Existe un elemento $1\in F$ tal que $a1=1a=a$ para todo $a\in F$. Además $1\ne 0$

F8:

Para todo elemento $a\in F$, tal que $a\ne 0$ existe un elemento $a^{-1}\in F$ tal que $a(a^{-1})=(a^{-1})a=1$.

F9:

Para todos los elementos $a,b,c\in F$ se tiene que $a(b+c)=ab+ac$ y que $(a+b)c=ac+bc$.

Ejemplos

Como ejemplos de campos, tenemos:

• El conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, con las operaciones usuales, es un campo.
• El conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales, con las operaciones usuales, es un campo.
• El conjunto $\mathbb{C}=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}$, con las operaciones dadas por:

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$ $$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$$

es un campo.

• El conjunto $\mathbb{Z}_p=\{0,1,\ldots,p-1\}$, con suma y producto módulo $p$ es un campo para todo $p$ primo.

Por otro lado los siguientes no son campos:

• El conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros con las operaciones usuales, ya que por ejemplo $3\in\mathbb{Z}$ no tiene inverso multiplicativo.
• El conjunto $\mathbb{Z}_6$ con suma y producto módulo 6, ya que se tiene que $2\cdot 3=0$. Pero como veremos luego, si en un campo se multiplican dos elementos distintos de cero, el resultado es distinto de cero.