Definición y ejemplos
Definición
Un campo $F$ es un conjunto junto con dos operaciones binarias, una suma $+\colon F\times F\to F$ y un producto $\cdot\colon F\times F\to F$ tales que:
- F1:
- La suma es conmutativa, es decir $a+b=b+a$ para todos $a,b\in F$.
- F2:
- La suma es asociativa.
- F3:
- Existe un elemento $0\in F$ tal que $a+0=0+a=a$ para todo $a\in F$. El elemento $0$ se llama elemento neutro de la suma.
- F4:
- Para todo elemento $a\in F$, existe un elemento $-a\in F$ tal que $a+(-a)=(-a)+a=0$. El elemento $-a$ se llama inverso aditivo de $a$.
- F5:
- El producto es conmutativo.
- F6:
- El producto es asociativo.
- F7:
- Existe un elemento $1\in F$ tal que $a1=1a=a$ para todo $a\in F$. Además $1\ne 0$
- F8:
- Para todo elemento $a\in F$, tal que $a\ne 0$ existe un elemento $a^{-1}\in F$ tal que $a(a^{-1})=(a^{-1})a=1$.
- F9:
- Para todos los elementos $a,b,c\in F$ se tiene que $a(b+c)=ab+ac$ y que $(a+b)c=ac+bc$.
Ejemplos
Como ejemplos de campos, tenemos:
- El conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, con las operaciones usuales, es un campo.
- El conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales, con las operaciones usuales, es un campo.
- El conjunto $\mathbb{C}=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}$, con las operaciones dadas por:
es un campo.
- El conjunto $\mathbb{Z}_p=\{0,1,\ldots,p-1\}$, con suma y producto módulo $p$ es un campo para todo $p$ primo.
Por otro lado los siguientes no son campos:
- El conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros con las operaciones usuales, ya que por ejemplo $3\in\mathbb{Z}$ no tiene inverso multiplicativo.
- El conjunto $\mathbb{Z}_6$ con suma y producto módulo 6, ya que se tiene que $2\cdot 3=0$. Pero como veremos luego, si en un campo se multiplican dos elementos distintos de cero, el resultado es distinto de cero.