Sea $F$ un campo. Decimos que $V$ es un espacio vectorial sobre $F$ si es un conjunto con dos operaciones, una suma $+\colon V\times V\to V$ y un producto por escalares $\cdot\colon F\times V\to V$ tales que:

V1:

La suma es conmutativa, es decir $v+w=w+v$ para todos $v,w\in F$.

V2:

La suma es asociativa.

V3:

Existe un elemento $0\in V$ tal que $v+0=0+v=v$ para todo $v\in V$. El elemento $0$ se llama elemento neutro.

V4:

Para todo elemento $v\in V$, existe un elemento $-v\in V$ tal que $v+(-v)=(-v)+v=0$. El elemento $-v$ se llama inverso aditivo de $v$.

V5:

Para todo $v\in V$ se tiene que $1v=v$.

V6:

Para todos $\lambda_{1},\lambda_{2}\in F$, $v\in V$ se tiene que $\lambda_{1}(\lambda_{2}v)=(\lambda_{1}\lambda_{2})v$.

V7:

Para todos $\lambda_{1},\lambda_{2}\in F$, $v\in V$ se tiene que $(\lambda_{1}+\lambda_{2})v=\lambda_{1}v+\lambda_{2}v$, y también, para todos $\lambda\in F$, $v_{1},v_{2}\in V$ se tiene que $\lambda(v_{1}+v_{2})=\lambda v_{1}+\lambda v_{2}$.

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Si $V$ es un espacio vectorial sobre $F$, a los elementos de $V$ se les llama vectores y a los elementos de $F$ se les llama escalares.