Campos

Definición de campo

Un campo es una estructura formada por un conjunto $F$ y dos operaciones binarias $F\times F\to F$, la primera llamada suma y denotada por $(a,b)\mapsto a+b$, la segunda llamada producto y denotada por $(a,b)\mapsto ab$, tales que:

• $a+b=b+a$ para todos $a,b\in F$,
• $a+(b+c)=(a+b)+c$ para todos $a,b,c\in F$,
• existe un elemento $0\in F$ tal que $a+0=a$ para todo $a\in F$,
• para todo $a\in F$ existe $-a\in F$ tal que $a+(-a)=0$,
• $ab=ba$ para todos $a,b\in F$,
• $a(bc)=(ab)c$ para todos $a,b,c\in F$,
• existe un elemento $1\in F$ con $1\ne 0$ tal que $a1=a$ para todo $a\in F$,
• para todo $a\in F$, $a\ne 0$ existe $a^{-1}\in F$ tal que $a(a^{-1})=1$,
• $a(b+c)=ab+ac$ para todos $a,b,c\in F$.

Ejemplos de campos

• El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$, con las operaciones usuales.
• El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$, con las operaciones usuales.
• Existen campos con una cantidad finita de elementos. (De hecho, existe un campo con $n$ elementos si y solo si $n=p^{r}$ para $p$ primo y $r>0$.)
• El campo de los números complejos, que estudiaremos aquí.

Observaciones

• En todo campo se define $a-b$ como $a+(-b)$. Si $b\ne 0$ se define $\frac{a}{b}$ como $ab^{-1}$.
• Existen muchas propiedades que se deducen solamente a partir de los axiomas de campo. Por ejemplo, se tiene que los elementos $0,1$ son únicos con respecto a las propiedades que los definen, y que $a0=0$ para todo elemento del campo $a$.

Caracterización de los números reales

Campos ordenados

• Campo ordenado

  Decimos que $F$ es un campo ordenado si existe un conjunto $P\subseteq F$ tal que:

  • $a+b\in P$ para todos $a,b\in P$,
  • $ab\in P$ para todos $a,b\in P$,
  • $F$ es unión disjunta de $\{0\}$, $P$, y $\{-a\mid a\in P\}$.

• Ejemplo

  Los campos $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ son ordenados.

Campos ordenados completos

• Relación de orden

  En un campo ordenado, se puede definir la relación $a>b$ como $a-b\in P$.

• Campo ordenado completo

  Si $F$ es un campo ordenado donde todo subconjunto no vacío acotado superiormente tiene una mínima cota superior, decimos que $F$ es completo.

• Caracterización de $\mathbb{R}$

  Salvo isomorfismo, el único campo ordenado completo es el campo de los números reales.

Números complejos

Definición de Hamilton (1833)

Sea $\mathbb{C}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb{R}\}$. Entonces, en $\mathbb{C}$ podemos definir operaciones de suma y producto:

• $(x,y)+(u,v)=(x+u,y+v)$,
• $(x,y)(u,v)=(xu-yv,xv+yu)$,

de tal modo que $\mathbb{C}$ resulta ser un campo.

Propiedades de $\mathbb{C}$

• En $\mathbb{C}$ tenemos $0=(0,0)$ y $1=(1,0)$.
• ¿Cuál es el inverso multiplicativo de $(x,y)\ne 0$?
• El subconjunto $\{(x,0)\in \mathbb{C}\mid x\in \mathbb{R}\}$ es cerrado bajo las operaciones definidas en $\mathbb{C}$, y resulta ser un campo isomorfo a $\mathbb{R}$ bajo la correspondencia $x\leftrightarrow (x,0)$.
• Por lo anterior, denotaremos a $(x,0)$ por $x$.
• Tenemos que $(0,y)=y(0,1)$ para todo $y\in \mathbb{R}$. Denotaremos a $(0,1)$ por $i$.
• Se tiene entonces que $i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.$
• Además, $(0,y)=(0,1)(y,0)=iy$ para todo $y\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, $(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+iy$ para todo $(x,y)\in\mathbb{C}$.

Ejercicios

• Demuestra que si definimos suma de parejas de reales de manera usual y el producto como $(x,y)(u,v)=(xu,yv)$, no se obtiene un campo.
• Demuestra que si definimos suma de tercias de reales de manera usual y el producto como el producto cruz, no se obtiene un campo.

Breviario cultural

• ¿Es posible definir una estructura de campo en el conjunto de tercias de números reales? ¿O en general en $\mathbb{R}^{n}$?
• Hamilton no lo logró en $\mathbb{R}^{3}$. Pero en 1843 definió una estructura ($\mathbb{H}$) de álgebra con división en $\mathbb{R}^{4}$, la cual cumple los axiomas de campo excepto la conmutatividad del producto.
• Frobenius probó en 1877 que las únicas álgebras con división de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ son: $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{H}$.
• Usando que $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado (es decir, todo polinomio con coeficientes en $\mathbb{C}$ tiene una raíz en $\mathbb{C}$), es fácil demostrar que el único campo que extiende a $\mathbb{C}$ y es de dimensión finita como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ es $\mathbb{C}$.

Más definiciones y propiedades

Definiciones

• El número complejo $z=(x,y)$ se denotará como $z=x+iy$. Decimos que $x$ es la parte real de $z$ y que $y$ es la parte imaginaria de $z$. Escribimos $x=\Re z$, $y=\Im z$.
• El conjugado de $z=x+iy$ es $\overline{z}=x-iy$.
• El módulo de $z=x+iy$ es $\vert z\vert =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

Propiedades

• $\overline{\overline{z}}=z$, $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$, $\overline{zw}=\overline{z}\,\overline{w}$, $\overline{\frac{z}{w}}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$.
• $\Re z =\frac{z+\overline{z}}{2}$, $\Im z =\frac{z-\overline{z}}{2}$.
• $\vert zw\vert =\vert z\vert \vert w\vert$, $\vert \frac{z}{w}\vert =\frac{\vert z\vert }{\vert w\vert }$.
• $\vert z\vert =\vert \overline{z}\vert$, $z\overline{z}=\vert z\vert ^{2}$.
• $\vert \Re z\vert \leq \vert z\vert$, $\vert \Im z\vert \leq \vert z\vert$.
• $\vert z+w\vert \leq \vert z\vert +\vert w\vert$, $\vert z+w\vert \geq \vert \vert z\vert -\vert w\vert \vert$.
• Si $z\ne 0$, $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\vert z\vert ^{2}}$.