Definiciones básicas

Discos

• Disco

  Sean $z_{0}\in\mathbb{C}$ y $r$ un real positivo. Definimos el disco con centro en $z_{0}$ y radio $r$, denotado $D(z_{0},r)$, como el conjunto:

  $$D(z_{0},r)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-z_{0}|<r\}.$$

• Disco cerrado

  Sean $z_{0}\in\mathbb{C}$ y $r$ un real positivo. Definimos el disco cerrado con centro en $z_{0}$ y radio $r$, denotado $\overline{D}(z_{0},r)$, como el conjunto:

  $$\overline{D}(z_{0},r)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z-z_{0}|\leq r\}.$$

Conjuntos abiertos

• Punto interior

  Sean $A\subseteq \mathbb{C}$ y $z\in \mathbb{C}$. Decimos que $z$ es punto interior de $A$ si existe $r>0$ tal que $D(z,r)\subseteq A$.

• Conjunto abierto

  Sea $A\subseteq \mathbb{C}$. Decimos que $A$ es un conjunto abierto si todo punto de $A$ es punto interior de $A$.

• Propiedades de conjuntos abiertos

  • Si $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$ es una colección de conjuntos abiertos, entonces $\cup_{\alpha\in I}U_{\alpha}$ es un conjunto abierto.
  • Si $U_{1},U_{2}$ son abiertos, entonces $U_{1}\cap U_{2}$ es abierto.

Ejemplos de conjuntos abiertos

• • $\mathbb{C}$ es abierto.
  • $\emptyset$ es abierto.
  • Para todo $z\in \mathbb{C}$, $r>0$, se tiene que $D(z,r)$ es abierto.

Conjuntos cerrados

• Conjunto cerrado

  Sea $A\subseteq \mathbb{C}$. Decimos que $A$ es cerrado si su complemento en $\mathbb{C}$, es decir, $\mathbb{C}-A$, es un conjunto abierto.

• • $\mathbb{C}$ y $\emptyset$ son cerrados.
  • Para todo $z\in \mathbb{C}$, $r>0$, se tiene que $\overline{D}(z,r)$ es cerrado.
  • La circunferencia unitaria $\{z\in \mathbb{C}\mid \vert z\vert =1\}$ es cerrada.
• • Si $\{F_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$ es una colección de conjuntos cerrados, entonces $\cap_{\alpha\in I}F_{\alpha}$ es un conjunto cerrado.
  • Si $F_{1},F_{2}$ son cerrados, entonces $F_{1}\cap F_{2}$ es cerrado.

Frontera

• Punto frontera

  Sean $A\subseteq \mathbb{C}$ y $z\in \mathbb{C}$. Decimos que $z$ es un punto frontera de $A$ si para todo $r>0$ se tiene que $A\cap D(z,r)\not=\emptyset$ y $(\mathbb{C}-A)\cap D(z,r)\not=\emptyset$.

• El conjunto de puntos frontera de $A$ se denota con $\partial A$.

• Ejemplo

  $$\partial D(z_{0},r)=\partial \overline{D}(z_{0},r)=\{z\in \mathbb{C}\mid \vert z-z_{0}\vert =r\}$$

Ejercicios

• Demuestra que $A\subseteq \mathbb{C}$ es abierto si y solo si $\partial A\cap A=\emptyset$.
• Demuestra que $A\subseteq \mathbb{C}$ es cerrado si y solo si $\partial A\subseteq A$.
• Demuestra que para todo $A\subseteq \mathbb{C}$ se tiene que $\partial A$ es un conjunto cerrado.

Cerradura

• Cerradura

  Sea $A\subseteq \mathbb{C}$. La cerradura de $A$, denotada $\overline{A}$, se define como:

  $$\overline{A}=A\cup\partial A.$$

• Por ejemplo, $\overline{D(z,r)}=\overline{D}(z,r)$.

• Ejercicios

  • Demuestra que $z\in \overline{A}$ si y solo si $D(z,r)\cap A\ne\emptyset$ para todo $r>0$.
  • Demuestra que $\overline{A}$ es cerrado para todo $A\subseteq \mathbb{C}$.
  • Demuestra que $A\subseteq \mathbb{C}$ es cerrado si y solo si $A=\overline{A}$.

Sucesiones

Definición y notación

• Sucesión

  Una sucesión en un conjunto $A$ es una función $a\colon\mathbb{N}\to A$. Denotaremos $a(n)$ como $a_{n}$ y a $a$ como $\{a_{n}\}$.

• Convergencia

  Decimos que la sucesión $\{a_{n}\}\subseteq \mathbb{C}$ converge a $z\in\mathbb{C}$ si para todo $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $a_{n}\in D(z,\epsilon)$ para todo $n\geq N$. Escribimos $\lim_{n\to\infty}a_{n}=z$.

• Observación

  $\lim_{n\to\infty}a_{n}=z$ si y solo si $\lim_{n\to\infty}\vert a_{n}-z\vert =0$.

Propiedades

• $\lim_{n\to\infty}a_{n}=z$ si y solo si $\lim_{n\to\infty}\Re a_{n}=\Re z$ y $\lim_{n\to\infty}\Im a_{n}=\Im z$

• Sean $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ dos sucesiones de números complejos tales que $a_{n}\to z$ y $b_{n}\to w$. Entonces:

  • $ca_{n}\to cz$ para todo $c\in \mathbb{C}$,
  • $\overline{a_{n}}\to \overline{z}$, $\vert a_{n}\vert \to \vert z\vert$,
  • $a_{n}+b_{n}\to z+w$, $a_{n}b_{n}\to zw$.
  • Si $w\ne 0$, entonces $b_{n}= 0$ a lo más para una cantidad finita de valores de $n$, y $\frac{a_{n}}{b_{n}}\to \frac{z}{w}$.

Puntos de acumulación y sucesiones

Punto de acumulación

• Punto de acumulación

  Sea $A\subseteq \mathbb{C}$. Decimos que $z\in \mathbb{C}$ es punto de acumulación de $A$ si para todo $\epsilon>0$ existe un punto en $D(z,\epsilon)\cap A$ distinto de $z$.

• Punto de acumulación de una sucesión

  Sea $\{a_{n}\}$ una sucesión en $\mathbb{C}$. Decimos que $z\in \mathbb{C}$ es punto de acumulación de $a_{n}$ si para todo $\epsilon>0$ existe una infinidad de valores de $n$ tales que $a_{n}\in D(z,\epsilon)$.

• Subsucesión

  Se dice que la sucesión $\{b_{k}\}$ es una subsucesión de $\{a_{n}\}$ si existe una sucesión creciente en $\mathbb{N}$

  $$n_{1}<n_{2}<\cdots$$

  tal que $a_{n_{k}}=b_{k}$ para $k=1,2,\ldots$.

• El complejo $z\in \mathbb{C}$ es punto de acumulación de la sucesión $a=\{a_{n}\}$ si y solo si existe una subsucesión $\{a_{n_{k}}\}$ de $a$ tal que $\lim a_{n_{k}}=z$.

• Si una sucesión $a=\{a_{n}\}$ tiene límite $z$, entonces toda subsucesión de $a$ tiene límite $z$.

• Sean $A\subseteq \mathbb{C}$ y $z\in \mathbb{C}$. Entonces $z\in \overline{A}$ si y solo si existe una sucesión en $A$ con límite $z$.

• Sea $A\subseteq \mathbb{C}$. Entonces $A$ es cerrado si y solo si $A$ contiene todo punto de acumulación de toda sucesión en $A$.