Funciones continuas

Continuidad

• Continuidad en un punto

  Sean $A\subseteq \mathbb{C}$, $a\in A$ y $f\colon A\to \mathbb{C}$ una función. Decimos que $f$ es continua en $a$ si y solo si para cada $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:

  $$f(A\cap D(a,\delta))\subseteq D(f(a),\epsilon).$$

• Decimos que $f\colon A\to \mathbb{C}$ es continua si es continua en $a$ para todo $a\in A$.

• Sean $A\subseteq \mathbb{C}$, $a\in A$ y $f\colon A\to \mathbb{C}$ una función. Entonces $f$ es continua en $a$ si y solo si para toda sucesión $z_{n}$ en $A$ tal que $z_{n}\to a$, se tiene que $f(z_{n})\to f(a)$.

• Sean $f,g\colon A\to \mathbb{C}$ funciones continuas en $a\in A$. Entonces $cf$, $\Re f$, $\Im f$, $\overline{f}$, $f+g$, $fg$ son continuas en $a$. En particular si $f,g$ son continuas, entonces cada una de las funciones listadas son continuas.

• Si $g(a)\ne 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es continua en $a$. Si $g(a)\ne 0$ para todo $a\in A$, entonces $\frac{f}{g}$ es continua.

• Sean $f\colon A\to \mathbb{C}$, $g\colon B\to \mathbb{C}$ funciones tales que $f(A)\subseteq B$. Si $f$ es continua en $a\in A$ y $g$ es continua en $f(a)$, entonces $g\circ f$ es continua en $a$. En particular, si $f$ y $g$ son continuas, entonces $g\circ f$ es continua.

• Sea $U\subseteq \mathbb{C}$ abierto. Una función $f\colon U\to \mathbb{C}$ es continua si y solo si para todo abierto $V\subseteq \mathbb{C}$ se tiene que el conjunto

  $$f^{-1}(V)=\{z\in U\mid f(z)\in V\},$$

  es abierto.

Límites

Definición de límite

• Dados $a\in \mathbb{C}$ y $r>0$, denotaremos con $D^{*}(a,r)$ al conjunto $D(a,r)-\{a\}$.

• Límite

  Sean $f\colon A\to \mathbb{C}$ una función y $a\in \mathbb{C}$ un punto de acumulación de $A$. Decimos que $c\in \mathbb{C}$ es límite de $f$ en $a$, denotado $\lim_{z\to a}f(z)=c$, si para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que:

  $$f(A\cap D^{*}(a,\delta))\subseteq D(c,\epsilon).$$

Relación con continuidad

• Sea $a\in A$ tal que $a$ es punto de acumulación de $A$. Entonces $f\colon A\to \mathbb{C}$ es continua en $a$ si y solo si $\lim_{z\to a}f(z)=f(a)$.

• Sea $a$ punto de acumulación de $A\in \mathbb{C}$. Entonces $f\colon A\to \mathbb{C}$ tiene límite $c$ en $a$ si y solo si para toda sucesión $z_{n}$ en $A-\{a\}$ con límite $a$ se tiene que $f(z_{n})$ converge a $c$.

• Sea $A\subseteq \mathbb{C}$ y $a$ un punto de acumulación de $A$. Sean $f,g\colon A\to \mathbb{C}$ funciones tales que $\lim_{z\to a}f(z)=l_{1}$ y $\lim_{z\to a}g(z)=l_{2}$. Entonces $cf$, $\Re f$, $\Im f$, $\overline{f}$, $f+g$, $fg$ tienen todas límite cuando $z\to a$, y su valor es $cl_{1}$, $\Re l_{1}$, $\Im l_{1}$, $\overline{l_{1}}$, $l_{1}+l_{2}$ y $l_{1}l_{2}$, respectivamente. Si $l_{2}\ne 0$, entonces $\lim_{z\to a}\frac{f}{g}$ existe y es igual a $\frac{l_{1}}{l_{2}}$.