Definición

Derivada

• Sean $A\subseteq \mathbb{C}$ y $z_{0}$ en el interior de $A$. Decimos que $f\colon A\to \mathbb{C}$ es derivable en $z_{0}$ si el límite

  $$\lim_{z\to z_{0}}\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}$$

  existe. En caso de existir, al valor del límite lo denotamos por $f'(z_{0})$.

Equivalencias de la definición

• Dados $A\subseteq \mathbb{C}$ y $z_{0}$ en el interior de $A$, son equivalentes:

  • $f$ es derivable en $z_{0}$.

  • El límite

    $$\lim_{h\to 0}\frac{f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}$$

    existe.

  • Existen $c\in \mathbb{C}$ y una función $E\colon A\to \mathbb{C}$ tal que

    $$f(z)=f(z_{0})+c(z-z_{0})+E(z)$$

    con $\lim_{z\to z_{0}}\frac{E(z)}{z-z_{0}}=0$.

Observaciones

• Dada $f\colon A\to \mathbb{C}$, se define $f'\colon B\to \mathbb{C}$, donde $B\subseteq A$ es el conjunto de puntos donde $f$ es derivable.
• Si $f$ es derivable en $z_{0}$, entonces es continua en $z_{0}$.

Reglas de derivación

• Supongamos que $f,g\colon A\to \mathbb{C}$ son derivables en $z_{0}\in A$ y $c\in \mathbb{C}$. Entonces $cf$, $f+g$, $fg$ son derivables en $z_{0}$. También $\frac{f}{g}$ es derivable en $z_{0}$ si $g(z_{0})\ne 0$. Además:

  • $(cf)'(z_{0})=cf'(z_{0})$,
  • $(f+g)(z_{0})=f(z_{0})+g(z_{0})$,
  • $(fg)'(z_{0})=f'(z_{0})g(z_{0})+f(z_{0})g'(z_{0})$,
  • $(\frac{f}{g})'(z_{0})=\frac{f'(z_{0})g(z_{0})-f(z_{0})g'(z_{0})}{g(z_{0})^{2}}$.

• Para todo $z\in \mathbb{Z}$ se tiene que $f(z)=z^{n}$ es diferenciable y $f'(z)=nz^{n-1}$.

Regla de la cadena

• Sean $f\colon A\to \mathbb{C}$ y $g\colon B\to \mathbb{C}$ funciones tales que $f(A)\subseteq B$. Sean $f$ derivable en $z_{0}\in A$ y $g$ derivable en $f(z_{0})$. Entonces $g\circ f$ es derivable en $z_{0}$, y $(g\circ f)'(z_{0})=g'(f(z_{0}))$.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

• Ecuaciones de Cauchy-Riemann

  Sea $f\colon A\to \mathbb{C}$ derivable en $z_{0}$. Si $f=u+iv$, entonces

  $$u_{x}(z_{0})=v_{y}(z_{0}),\qquad u_{y}(z_{0})=-v_{x}(z_{0}).$$