Consecuencias

Condición suficiente para derivabilidad

• Sea $f=u+iv\colon U\to \mathbb{C}$ donde $U$ es abierto. Supongamos que $u_{x},u_{y},v_{x},v_{y}$ existen en $U$, son continuas en $z_{0}\in U$, y satisfacen allí las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir, $u_{x}(z_{0})=v_{y}(z_{0})$ y $v_{x}(z_{0})=-u_{y}(z_{0})$. Entonces $f$ es derivable en $z_{0}$, y $f'(z_{0})=u_{x}(z_{0})+iv_{x}(z_{0})$.

Dominios

• Si $D\subseteq \mathbb{C}$ es abierto y conexo, decimos que $D$ es un dominio.

• Sea $u\colon D\subseteq \mathbb{C}\to \mathbb{R}$ donde $D$ es un dominio. Si $u_{x}(z)=u_{y}(z)=0$ para todo $z\in D$, entonces $u$ es constante.

Funciones analíticas

• Sea $U\subseteq \mathbb{C}$ un abierto. Si $f$ es derivable en todo $z\in U$, decimos que $f$ es analítica en $U$.

• Sea $f$ una función analítica en un dominio $D\subseteq \mathbb{C}$. Si $f'(z)=0$ para todo $z\in D$, entonces $f$ es constante.

• Sea $f=u+iv$ analítica en un dominio $D\subseteq \mathbb{C}$. Si alguna de las funciones $u,v,\vert f\vert$ es constante en $D$, entonces $f$ es constante en $D$.

Funciones armónicas

• Sea $u\colon D\to \mathbb{R}$. El laplaciano de $u$ es

  $$\bigtriangleup u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$$

  La función $u$ es armónica si $\bigtriangleup u=0$

• Sea $f=u+iv$ analítica en un dominio $D\subseteq \mathbb{C}$. Demostraremos más adelante que $u,v$ son funciones de clase $C^{\infty}$. Suponiendo eso, se tiene que $u,v$ son armónicas.