Definición

• Observemos que las funciones $u=e^{x}\cos y$ y $v=e^{x}\sin y$ satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el plano complejo $\mathbb{C}$.

• La función de variable compleja

  $$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y$$

  se llama función exponencial compleja.

Propiedades

• $(e^{z})'=e^{z}$.
• $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ para todos $a,b\in \mathbb{C}$.
• $e^{z}\ne 0$ para todo $z\in \mathbb{C}$.
• $f(z)=e^{z}$ es una función entera, es decir, es analítica en el plano complejo $\mathbb{C}$.

Las funciones trigonométricas

• Seno y coseno

  Las funciones trigonométricas de variable compleja se definen como:

  $$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

• Propiedades

  • $e^{iz}=\cos z+i\sin z$ (fórmula de Euler),
  • $\cos^{2} z+\sin^{2}z=1$,
  • $(\cos z)'=-\sin z$, $(\sin z)'=\cos z$,
  • $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, $\sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b$.

Logaritmo

Definición

• Logaritmo

  Dado $w\in \mathbb{C}$, se define $z=\log w$ como una solución de la ecuación $e^{z}=w$.

• Observaciones

  • Como $e^{z}\ne 0$ para todo $z\in \mathbb{C}$, se obtiene que $0$ no tiene logaritmo.

  • Sea $w\ne 0$. Entonces $e^{x+iy}=w$ es equivalente a:

    $$e^{x}=|w|,\qquad e^{iy}=\frac{w}{|w|}.$$

  • De lo anterior se obtiene:

    $$\log w = \log |w| +i\arg w,$$

    donde $\arg w$ representa el conjunto de argumentos de $w$. En particular, $\log w$ tiene una infinidad de valores, que difieren por un múltiplo de $2\pi i$.

  • Sin embargo, si $a\in\mathbb{R}$, $a>0$, consideraremos el valor usual (real) de $\log a$.

Ramas

• Si $f\colon U\to \mathbb{C}$ es analítica y $D\subseteq f(U)$ es un dominio, una rama de $f^{-1}$ en $D$ es una función continua $g\colon D\to U$ tal que $f(g(z))=z$ para todo $z\in D$.

• Argumento principal

  Dado $z\in \mathbb{C}-\{0\}$, definimos $\mathrm{Arg}(z)$ como el argumento de $z$ que está en el intervalo $(-\pi,\pi]$.

• Observación

  La función $\mathrm{Arg}\colon \mathbb{C}-\{z\in \mathbb{C}\mid z\leq 0\}\to \mathbb{R}$ es continua.

Raíz cuadrada

• La función

  $$z\mapsto \sqrt{|z|}(\cos \frac{\mathrm{Arg}(z)}{2}+i\sin\frac{\mathrm{Arg}(z)}{2}),$$

  es una rama de la inversa de $f(z)=z^{2}$, definida en $D=\mathbb{C}-\{z\in \mathbb{C}\mid z\leq 0\}$.

• La función

  $$z\mapsto \log |z|+i\mathrm{Arg}(z)$$

  es una rama de la inversa de $f(z)=e^{z}$, definida en $D=\mathbb{C}-\{z\in \mathbb{C}\mid z\leq 0\}$.

Derivabilidad de ramas

• Sea $f\colon U\to \mathbb{C}$ analítica, y sea $g\colon D\to U$ una rama de $f^{-1}$. Sean $z_{0}\in D$ y $w_{0}=g(z_{0})\in U$. Si $f'(w_{0})\ne 0$, entonces $g$ es derivable en $z_{0}$ y $g'(z_{0})=\frac{1}{f'(w_{0})}$.

  Por lo tanto, si $f'$ no tiene ceros en $g(D)$, entonces $g$ es analítica en $D$, y $g'(z)=\frac{1}{f'(g(z))}$.