Definiciones

Dado $\gamma\colon[a,b]\to \mathbb{C}$ , escribimos $\gamma(t)=x(t)+iy(t)$ . Decimos que $\gamma$ es continua (derivable) si $x,y$ son funciones continuas (derivables) $[a,b]\to \mathbb{R}$ . Decimos que $\gamma$ es suave si $\gamma(t)$ es derivable y $\gamma'(t)$ es continua.

Si $\gamma$ es continua, definimos
$\int_{a}^{b}\gamma(t)\,dt=\int_{a}^{b}x(t)\,dt+i\int_{a}^{b}y(t)\,dt.$
Si $\gamma$ es derivable, escribimos $\gamma'(t)=x'(t)+iy'(t)$ . Si $U\subseteq \mathbb{C}$ es abierto y $\gamma([a,b])\subseteq U$ , decimos que $\gamma$ es una curva en $U$ .
Sean $U\subseteq \mathbb{C}$ abierto, $f\colon U\to \mathbb{C}$ una función continua, y $\gamma$ una curva suave en $U$ . Definimos la integral de $f$ sobre $\gamma$ como:
$\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.$

Propiedades de la integral

Si $f_{1}, f_{2}\colon U\to \mathbb{C}$ y $\gamma$ es una curva suave en $U$ , se tiene:
$\int_{\gamma}(f_{1}+f_{2})(z)\,dz=\int_{\gamma}f_{1}(z)\,dz+\int_{\gamma}f_{2}(z)\,dz.$
Si $f\colon U\to \mathbb{C}$ y $c\in \mathbb{C}$ , se tiene:
$\int_{\gamma}cf(z)\,dz=c\int_{\gamma}f(z)\,dz.$

Camino inverso

Dado $\gamma\colon[a,b]\to \mathbb{C}$ , definimos el camino inverso $-\gamma\colon[a,b]\to\mathbb{C}$ como:
$(-\gamma)(t)=\gamma(a+b-t).$
Se tiene que:
$\int_{-\gamma}f(z)\,dz=-\int_{\gamma}f(z)\,dz.$
Camino suave a trozos

Sea $U\subseteq \mathbb{C}$ abierto. Sea $\gamma\colon [a,b]\to U$ continua tal que existen $a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n-1}<x_{n}=b$ y $\gamma_{1},\gamma_{2},\ldots,\gamma_{n}$ curvas suaves en $U$ con dominios $[x_{i-1},x_{i}]$ para $i=1,\ldots,n$ respectivamente. Decimos entonces que $\gamma$ es un camino suave a trozos y escribimos:
$\gamma=\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{n}.$
Si $\gamma$ es suave a trozos, con la notación anterior definimos:
$\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_{\gamma_{1}}f(z)\,dz+\cdots+\int_{\gamma_{n}}f(z)\,dz.$
Las propiedades de la integral demostradas hasta ahora se conservan si $\gamma$ se supone suave a trozos.