Teorema fundamental

• Sea $f\colon U\to \mathbb{C}$ continua, y sea $F\colon U\to \mathbb{C}$ tal que $F'=f$. Si $\gamma\colon[a,b]\to U$ es suave a trozos, entonces:

  $$\int_{\gamma}f(z)\,dz=[F(z)]_{\gamma(a)}^{\gamma(b)}=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).$$

• En particular, si $\gamma$ es una curva cerrada, se obtiene que $\int_{\gamma}f(z)\,dz=0$.

Longitud

• Longitud

  Sea $\gamma\colon[a,b]\to U$ una curva suave. Su longitud se define como:

  $$\int_{\gamma}|dz|=\int_{a}^{b}|\gamma'(t)|\,dt$$

• Sea $f\colon U\to \mathbb{C}$ continua. La integral de $f$ sobre $\gamma$ respecto a longitud de arco se define como:

  $$\int_{\gamma} f(z)\,|dz|=\int_{a}^{b} f(\gamma(t))|\gamma'(t)|\,dt$$

Teorema de estimación

• Sean $f\colon U\to \mathbb{C}$ continua y $\gamma$ una curva suave a trozos en en $U$. Entonces:

  $$\left|\int_{\gamma}f(z)\,dz\right|\leq \int_{\gamma}|f(z)|\,|dz|$$