Teorema del módulo máximo

• Módulo máximo

  Sean $D$ abierto y $f\colon D\to \mathbb{C}$ analítica y no constante. Entonces, para cada $z_{0}\in D$ y $\delta>0$, existe $z\in D(z_{0},\delta)\cap D$ tal que $\vert f(z)\vert >\vert f(z_{0})\vert$.

Demostración

• Si no es cierto, existen $z_{0}\in D$ y $\delta>0$ tal que para todo $z\in D(z_{0},\delta)$ se tiene que $\vert f(z)\vert \leq \vert f(z_{0})\vert$.

• Sea $r<\delta$. Tenemos que $f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\,d\theta$, de donde se obtiene:

  $$|f(z_{0})|\leq\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}|f(z_{0}+re^{i\theta})|\,d\theta.$$

• Por lo que:

  $$0 \leq\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} (|f(z_{0}+re^{i\theta})|-|f(z_{0})|)\,d\theta.$$
• Pero por nuestra hipótesis, el integrando es $\leq 0$, por lo que la integral es también $\leq 0$, y por lo tanto, igual a cero. Como el integrando es continuo, se tiene $\vert f(z_{0}+re^{i\theta})\vert =\vert f(z_{0})\vert$ para toda $\theta$.

Demostración (continuación)

• Como $r<\delta$ es arbitrario, hemos demostrado entonces que $\vert f\vert$ es una función constante en $D(z_{0},\delta)$. Pero una de las consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemman dice que entonces $f$ es constante en el mismo disco.
• Se deduce entonces que $f$ coincide con una constante en el disco, por lo tanto es constante en todo su dominio $D$, lo cual contradice nuestra hipótesis de que $f$ no es constante.

Un corolario

• Corolario

  Si $f$ es analítica y no constante en un disco $D(a,\delta)$ y continua en el disco cerrado, entonces $\vert f\vert$ alcanza su máximo en la frontera del disco.

Teorema del módulo mínimo

• Módulo mínimo

  Sean $D$ abierto y $f\colon D\to \mathbb{C}$ analítica y no constante. Entonces, para cada $z_{0}\in D$ y $\delta>0$, existe $z\in D(z_{0},\delta)\cap D$ tal que $\vert f(z)\vert <\vert f(z_{0})\vert$, a menos que $\vert f(z_{0})\vert =0$.

• Demostración

  Si $\vert f\vert$ alcanzara un mínimo local en $z_{0}\ne 0$, entonces $g=\frac{1}{f}$ sería tal que $\vert g\vert$ alcanza un máximo local en $z_{0}$, lo cual contradice que $f$ no es constante.

Lema de Schwarz

• • Sea $f$ analítica para $\vert z\vert <1$ tal que: $\vert f(z)\vert \leq 1$ y $f(0)=0$. Entonces se obtiene que $\vert f(z)\vert \leq\vert z\vert$ para toda $\vert z\vert <1$ y que $\vert f'(0)\vert \leq 1$.
  • Si además se tiene que $\vert f(z)\vert =\vert z\vert$ para algún $z\ne 0$, o bien que $\vert f'(0)\vert =1$, entonces $f(z)=cz$ para algún $c$ tal que $\vert c\vert =1$.

Teorema del mapeo abierto

• Mapeo abierto

  Si $U\subseteq\Omega$ es abierto, y $f\colon\Omega\to \mathbb{C}$ es analítica y no constante, entonces $f(U)\subseteq \mathbb{C}$ es abierto.

• Demostración

  • Veremos que si $f$ no es constante, y es analítica en $a$, la imagen de un disco centrado en $a$ contiene un disco centrado en $f(a)$. Sin perder generalidad, $f(a)=0$.
  • Sea $C$ una circunferencia centrada en $a$ tal que $f(z)\ne 0$ para $z\in C$. Sea $\epsilon=\min_{z\in C}\frac{\vert f(z)\vert }{2}$.

  • Sean $w\in D(0,\epsilon)$, $z\in C$. Entonces:

    $$|f(z)-w|\geq |f(z)|-|w|\geq 2\epsilon-\epsilon=\epsilon$$

    mientras que $\vert f(a)-w\vert =\vert -w\vert <\epsilon$.

  • Por lo tanto, la función $\vert f(z)-w\vert$ alcanza su mínimo dentro de $C$. Por el teorema de módulo mínimo, existe $z_{0}$ dentro de $C$ tal que $\vert f(z_{0})-w\vert =0$, es decir, $f(z_{0})=w$.