Definición

Singularidades aisladas

• Singularidad

  Si $a\in \mathbb{C}$ es tal que la función compleja $f$ es analítica en $\{z\in \mathbb{C}\mid 0<\vert z-a\vert <\delta\}$ para algún $\delta>0$, decimos que $a$ es singularidad (aislada) de $f$.

• Si $\lim_{z\to a}(z-a)f(z)=0$, entonces podemos definir el valor de $f$ en $a$, de modo que $f$ es analítica en toda una vecindad de $a$. En tal caso, se dice que $a$ es singularidad removible.

Polos

• Polo

  Si $a$ es una singularidad aislada, y $\lim_{z\to a}f(z)=\infty$, decimos que $a$ es polo de $f$.

• Ejemplo

  Por ejemplo, $f(z)=\frac{1}{(z+i)^{2}}$ tiene un polo en $z=-i$.

• Observaciones

  • Si $a$ es polo, existe $\delta'\leq\delta$ tal que $f(z)\ne 0$ para $z$ tal que $0<\vert z-a\vert <\delta'$.
  • En tal dominio, la función $g(z)=\frac{1}{f(z)}$ está definida y es analítica, más aún, $a$ es singularidad removible y $g$ se puede definir como $g(a)=0$.
  • Como $g$ no es idénticamente cero, podemos suponer que el cero $a$ tiene un orden $h$, es decir, $g(z)=(z-a)^{h}g_{h}(z)$, donde $g_{h}(a)\ne 0$.

  • En tal caso,

    $$f(z)=\frac{f_{h}(z)}{(z-a)^{h}},$$

    donde $f_{h}(z)=\frac{1}{g_{h}(z)}$.

Funciones meromorfas

• Función meromorfa

  Si $f$ es analítica en una región $\Omega$, salvo por polos, decimos que $f$ es meromorfa en $\Omega$.

• Observación

  La suma, producto y cociente de funciones meromorfas es meromorfas, siempre que el divisor de un cociente no sea la función idénticamente cero.

Clasificación de singularidades

Condiciones

Consideremos las siguientes propiedades acerca de la función $f$ con una singularidad aislada $a$, y $\alpha\in \mathbb{R}$:

• Condición 1:: $\lim_{z\to a}\vert z-a\vert ^{\alpha}\vert f(z)\vert =0$,

• Condición 2:: $\lim_{z\to a}\vert z-a\vert ^{\alpha}\vert f(z)\vert =\infty$.

• Supongamos que la condición 1 se cumple para cierta $\alpha$.
• Entonces, también se cumple para toda $\alpha'>\alpha$, y por lo tanto, para algún entero $m$.
• En tal caso, $(z-a)^{m}f(z)$ tiene una singularidad removible en $a$, si $f(z)$ no es idénticamente cero, $a$ es un cero, digamos de orden $k$.

• Entonces $(z-a)^{m}f(z)=(z-a)^{k}f_{k}(z)$. Escribimos

  $$(z-a)^{m-k}f(z)=f_{k}(z),$$

  de donde se obtiene que, si $\alpha>m-k$, se cumple la condición 1, y si $\alpha<m-k$, se cumple la condición 2.

• Supongamos ahora que la condición 2 se cumple para cierta $\alpha$.
• Entonces, también se cumple para toda $\alpha'<\alpha$, y por lo tanto, para algún entero $n$.
• En tal caso, $(z-a)^{n}f(z)$ tiene un polo en $a$, digamos de orden $l$, es decir $(z-a)^{n}f(z)=\frac{f_{l}(z)}{(z-a)^{l}}$.

• Podemos escribir entonces

  $$(z-a)^{n+l}f(z)=f_{l}(z).$$
• De lo anterior, se obiente que si $\alpha>n+l$, se cumple la condición 1, y si $\alpha<n+l$, se cumple la condición 2.

Singularidades esenciales

• Singularidad esencial

  Si $a$ es una singularidad aislada tal que no se cumple la condición 1 ni la condición 2 para ninguna $\alpha\in \mathbb{R}$, decimos que $a$ es singularidad esencial de $f$.

• Casorati–Weierstrass

  Si $a$ es una singularidad esencial de $f$, entonces para toda $0<\delta'<\delta$, se tiene que $f(D(a,\delta')-\{a\})$ es denso en $\mathbb{C}$.

Demostración

• Si el teorema no fuera cierto, existirían un número complejo $A$ y un $r>0$ tal que $\vert f(z)-A\vert >r$ para todo $z$ en alguna vecindad perforada de $a$.
• Para $\alpha<0$, entonces $\lim_{z\to a}\vert z-a\vert ^{\alpha}\vert f(z)-A\vert =\infty$, lo cual implica que $a$ no es singularidad esencial de $f(z)-A$.
• Existe $\beta>0$ tal que $\lim_{z\to a}\vert z-a\vert ^{\beta}\vert f(z)-A\vert =0$, además $\lim_{z\to a}\vert z-a\vert ^{\beta}\vert A\vert =0$.

• De lo anterior, se obtiene que

  $$\lim_{z\to a}|z-a|^{\beta}|f(z)|=0,$$

  lo cual contradice que $a$ es singularidad esencial.