Repaso de sucesiones y series

Definiciones

• Convergencia

  • Decimos que la sucesión de números complejos $z_{n}$ converge a $z_{0}\in \mathbb{C}$ si para todo $\epsilon>0$ existe $N>0$ tal que

    $$n\geq N \text{ implica } |z_{n}-z_{0}|<\epsilon.$$

    En tal caso, escribimos $z_{n}\to z_{0}$.

  • La serie $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ de números complejos converge a $S$ si la sucesión de sumas parciales $s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ converge a $S$. En tal caso escribimos $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=S$.

• Criterio de Cauchy

  • $z_{n}$ converge si y solo si para todo $\epsilon>0$ existe $N>0$ tal que si $n,m\geq N$ entonces $\vert z_{n}-z_{m}\vert <\epsilon$.

  • $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ converge si y solo si para todo $\epsilon>0$ existe $N$ tal que si $n\geq N$, entonces

    $$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p}a_{k} \right|<\epsilon\text{ para \(p=1,2,\ldots\)}$$

• Si $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ converge, entonces $a_{n}\to 0$.

• Convergencia absoluta

  Si $\sum_{k=1}^{\infty}\vert a_{k}\vert$ converge, decimos que $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ converge absolutamente.

• Si $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ converge absolutamente, entonces converge.

Criterios de convergencia

• • Si $\vert r\vert <1$, entonces $\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}$ converge a $\frac{1}{1-r}$. Si $\vert r\vert \geq 1$, la serie diverge.
  • Si $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}$ converge y $0\leq a_{k}\leq b_{k}$ converge, entonces $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}$ converge. (Resultado dual para divergencia).
  • $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$ converge si $p>1$. Si $p\leq 1$, la serie diverge a $\infty$.
  • Si $\frac{\vert a_{n+1}\vert }{\vert a_{n}\vert }\to r$ con $r<1$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge absolutamente. Si $r>1$, la serie diverge.
  • Si $\vert a_{n}\vert ^{\frac{1}{n}}\to r$ y $r<1$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge absolutamente. Si $r>1$, la serie diverge.

Sucesiones de funciones

• • Sea $f_{n}\colon D\to \mathbb{C}$ una sucesión de funciones definidas en $D$. Si existe $f\colon D\to \mathbb{C}$ tal que $f_{n}(z)\to f(z)$ para todo $z\in D$, decimos que $f_{n}$ converge puntualmente a $f$. En este caso, escribimos $f_{n}\to f$.
  • Si para todo $\epsilon>0$ existe $N>0$ tal que $n\geq N$ implica $\vert f_{n}(z)-f(z)\vert <\epsilon$ para todo $z\in D$, decimos que $f_{n}$ converge uniformemente a $f$.
  • Se dice que la serie $\sum_{k=1}^{\infty}g_{k}(z)$ converge puntualmente (uniformemente) si la sucesión de sumas parciales converge puntualmente (uniformemente).

• Criterio de Cauchy

  • $f_{n}(z)$ converge uniformemente si y solo si para todo $\epsilon>0$ existe $N>0$ tal que si $n\geq N$ entonces $\vert f_{n}-f_{n+p}\vert <\epsilon$ para todo $p=1,2,\ldots$.

  • $\sum_{k=1}^{\infty}g_{k}$ converge uniformemente en $D$ si y solo si para todo $\epsilon>0$ existe $N$ tal que si $n\geq N$, entonces

    $$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p}g_{k}(z) \right|<\epsilon\text{ para \(z\in D\) y \(p=1,2,\ldots\)}$$

Límite uniforme

• Si cada $f_{n}$ es continua y $f_{n}\to f$ uniformemente, entonces $f$ es continua.

Criterio de Weierstrass

• Sea $g_{n}\colon D\to \mathbb{C}$ una sucesión de funciones. Supongamos que existe una sucesión $M_{n}$ de reales $M_{n}\geq 0$ tal que:

  • $\vert g_{n}(z)\vert \leq M_{n}$ para $z\in D$,
  • $\sum_{n=1}^{\infty}M_{n}$ converge

  Entonces, $\sum_{n=1}^{\infty}g_{n}$ converge absoluta y uniformemente en $D$.

Convergencia de funciones analíticas

• • Sea $\gamma\colon [a,b]\to D$ una curva en la región $D$, y sea $f_{n}\colon \gamma([a,b])\to \mathbb{C}$ una sucesión de funciones continuas, tal que $f_{n}\to f$ uniformemente, donde $f\colon \gamma([a,b])\to \mathbb{C}$. Entonces:

    $$\int_{\gamma}f_{n}\,dz\to \int_{\gamma}f\,dz.$$

  • Si $\sum_{n=1}^{\infty}g_{n}$ converge uniformemente en $\gamma([a,b])$, entonces:

    $$\int_{\gamma}\left(\sum_{n=1}^{\infty}g_{n}(z)\right)dz=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_{\gamma} g_{n}(z)\,dz\right).$$

• • Sean $D$ abierto y $f_{n}\colon D\to \mathbb{C}$ una sucesión de funciones analíticas. Si $f_{n}\to f$ uniformemente en cada disco cerrado contenido en $D$, entonces $f$ es analítica. Además $f_{n}'\to f'$ puntualmente en $D$ y uniformemente en cada disco cerrado contenido en $D$.

  • Sea $g_{k}\colon D\to \mathbb{C}$ una sucesión de funciones analíticas tal que $g(z)=\sum_{k=1}^{\infty}g_{k}(z)$ con convergencia uniforme en cada disco cerrado contenido en $D$. Entonces $g\colon D\to \mathbb{C}$ es analítica, y $g'(z)=\sum_{k=1}^{\infty}g_{k}'(z)$ puntualmente en $D$ y uniformemente en cada disco cerrado contenido en $D$.