Ejemplos

Ejemplo

$g(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{n}$ converge uniformemente en $D_{r}=\overline{D}(0,r)$ para cada $r<1$ .
$g(z)$ converge puntualmente en $D(0,1)$ .
$g(z)$ no converge uniformemente en $D(0,1)$ .

$\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$ converge puntualmente a $f(z)=\frac{1}{1-z}$ en $D=D(0,1)$ .
La convergencia es absoluta en $D_{r}=\overline{D}(0,r)$ para cada $r<1$ .
$\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n}$ converge puntualmente en $D$ a $\frac{1}{(1-z)^{2}}$ y absolutamente en $D_{r}=\overline{D}(0,r)$ para cada $r<1$ .

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^{n}}{n}$ converge uniformemente a $\log(1+z)$ en todo disco cerrado centrado en el origen contenido en $D=D(0,1)$ .
- Sabemos que si $w=\rho e^{i\theta}\in D(1,1)$ , entonces $\mathrm{Log}(w)=\int_{\gamma}\frac{1}{\xi}d\xi=\log \rho+i\theta$ , donde $\mathrm{Log}$ es la rama principal del logaritmo y $\gamma$ es cualquier camino contenido en $D(1,1)$ que va de $1$ a $w$ .
- Haciendo el cambio de variable $\xi=\eta+1$ , obtenemos que
  $\int_{\gamma}\frac{1}{\xi}d\xi=\int_{\beta}\frac{1}{\eta+1}d\eta,$
  donde $\beta=\gamma-1$ es un camino de $0$ a $w-1$ .
Tenemos que $\frac{1}{\eta+1}=1-\eta+\eta^{2}-\eta^{3}+\cdots$ uniformemente en discos cerrados contenidos en $D(0,1)$ , por lo que:
$\mathrm{Log}(w)=\int_{\beta}\frac{1}{\eta+1}d\eta = \int_{\beta}(1-\eta+\eta^{2}-\eta^{3}+\cdots)\,d\eta$
Lo último es igual a
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\int_{\beta}\eta^{k}\,d\eta= \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\left.\frac{\eta^{k+1}}{k+1}\right|_{0}^{w-1}.$
Lo anterior, resulta ser igual a $\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{(w-1)^{k}}{k}$ . Sustituyendo $w-1=z$ , resulta:
$\mathrm{Log}(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^{n}}{n}.$
y como en el primer ejemplo, se demuestra la convergencia uniforme en $\overline{D_{r}}$ .

La función
$\zeta(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{z}}$
es analítica en $A=\{z\mid\Re z>1\}$ .
Tenemos que
$|n^{-z}|=|e^{-z\log n}|=|e^{-x\log n-iy\log n}|=e^{-x\log n}=n^{-x}.$
Sea $B\subseteq A$ un disco cerrado. Sea $\delta$ la distancia entre $B$ y el complemento de $A$ . Entonces, si $z\in B$ , se tiene que $x\geq 1+\delta$ , por lo que $n^{-x}\leq n^{-(1+\delta)}$ .
Tomando $M_{n}=n^{-(1+\delta)}$ , se obtiene la convergencia uniforme de la serie en $B$ .