Definición

• Serie de potencias

  Una serie de potencias es una serie de la forma:

  $$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n},$$

  donde los $a_{n}$ y $z_{0}$ son números complejos.

Teoremas

• Abel-Weierstrass

  Sean $r_{0}\geq0$ y $M$ una constante tal que $\vert a_{n}\vert r_{0}^{n}\leq M$ para todo $n\geq0$. Entonces, para cada $r<r_{0}$ la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ converge uniformemente y absolutamente en $D_{r}=\{z\in \mathbb{C}\mid \vert z-z_{0}\vert \leq r\}$.

• Convergencia de series de potencias

  Dada una serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$, existe un único número $R\geq0$, (posiblemente $+\infty$), llamado radio de convergencia, tal que si $\vert z-z_{0}\vert <R$ la serie converge, y si $\vert z-z_{0}\vert >R$, la serie diverge. Además, la convergencia es uniforme en cada disco cerrado contenido en $D=\{z\in \mathbb{C}\mid \vert z-z_{0}\vert < R\}$.

Corolario

• Serie es analítica

  Una serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ es una función analítica en su círculo de convergencia $D=\{z\in \mathbb{C}\mid \vert z-z_{0}\vert < R\}$.

• Derivación de series de potencias

  Sea

  $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n},$$

  una función analítica dada por una serie de potencias en su círculo de convergencia. Entonces:

  • $f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$ y la serie para $f'(z)$ tiene el mismo radio de convergencia que la serie para $f(z)$.
  • Además, $a_{n}=\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}$.

• Unicidad

  Si

  $$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}=f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}(z-z_{0})^{n}$$

  para todo $z$ en $D(z_{0},r)$ con $r>0$, entonces $a_{n}=b_{n}$ para toda $n$.

• Cálculo del radio de convergencia

  Dada la serie de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$:

  • si

    $$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n}|}{|a_{n+1}|}$$

    existe, es igual a $R$, el radio de convergencia de la serie.

  • Si $\rho=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\vert a_{n}\vert }$ existe, entonces $R=\frac{1}{\rho}$ es el radio de convergencia. ($R=\infty$ si $\rho=0$).

Teorema de Taylor

• Taylor

  Sea $f\colon A\to \mathbb{C}$ analítica con $A\subseteq \mathbb{C}$ abierto. Sean $z_{0}\in A$ y $r>0$ tal que $D_{r}=\{z\mid \vert z-z_{0}\vert <r\}\subseteq A$. Entonces, para cada $z\in D_{r}$, la serie:

  $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}$$

  converge en $A$, y además: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}=f(z)$.

• Desarrollo en series de potencias

  Sea $A\subseteq \mathbb{C}$ abierto y sea $f\colon A\to \mathbb{C}$. Entonces $f$ es analítica en $A$ si y solo si para cada $z_{0}\in A$ existe $r>0$ tal que $D(z_{0},r)\subseteq A$ y $f$ es igual a una serie de potencias convergente en $D(z_{0},r)$.

• • $e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$,
  • $\sin z=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}$.

• Observación

  Se obtiene otra demostración de que si $f$ tiene un cero de orden $k$ en $z_{0}$, entonces existe una función analítica $g$ tal que $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$, donde $g(z_{0})\ne0$.