Definición

• Expansión de Laurent

  Sean $r_{1},r_{2}$ tales que $0\leq r_{1}<r_{2}$, $z_{0}\in \mathbb{C}$. Sea $A=\{z\in \mathbb{C}\mid r_{1}<\vert z-z_{0}\vert <r_{2}\}$. Sea $f$ analítica en $A$. Entonces existen $a_{n},b_{n}\in \mathbb{C}$ tales que:

  $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{(z-z_{0})^{n}},$$

  donde ambas series del lado derecho convergen absolutamente en $A$ y uniformemente en conjuntos de la forma $B_{\rho_{1},\rho_{2}}=\{z\in \mathbb{C}\mid \rho_{1}\leq\vert z-z_{0}\vert \leq\rho_{2}\}$, donde $r_{1}<\rho_{1}<\rho_{2}<r_{2}$.

• Continuación

  Si $\gamma$ es un círculo centrado en $z_{0}$ de radio $r$, con $r_{1}<r<r_{2}$, los coeficientes $a_{n},b_{n}$ están dados por:

  $$a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\xi)}{(\xi-z_{0})^{n+1}}d\xi,$$ $$b_{n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f(\xi)(\xi-z_{0})^{n-1}\,d\xi$$

  Además, la expansión de Laurent de $f$ en $A$ es única.

• Observación

  La expansión de Laurent con $r_{1}=0$ se utiliza para el estudio de singularidades.

• Residuo

  Si $f$ tiene una singularidad aislada en $z_{0}$, el valor del coeficiente $b_{1}$ en la serie de Laurent definida en un disco perforado alrededor de $z_{0}$ se llama el residuo de $f$ en $z_{0}$.