Definición

• Residuo

  Supongamos que $f$ tiene una singularidad aislada en $z_{0}$. Si la expansión de Laurent alrededor de $z_{0}$ es:

  $$\cdots+\frac{b_{2}}{(z-z_{0})^{2}}+\frac{b_{1}}{(z-z_{0})}+a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+\cdots$$

  entonces $b_{1}$ se llama el residuo de $f$ en $z_{0}$, y se denota como

  $$b_{1}=\mathrm{Res}(f,z_{0}).$$

• Observación

  Si $\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)$ existe, es igual a $\mathrm{Res}(f,z_{0})$. En tal caso, $f(z)$ tiene una singularidad removible en $z_{0}$, o un polo de orden 1 (simple).

• Cálculo de residuos

  Sean $g,h$ analíticas en $z_{0}$, y supongamos que $g(z_{0})\ne 0$, $h(z_{0})=0$, y $h'(z_{0})\ne 0$. Entonces $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ tiene un polo simple en $z_{0}$, y

  $$\mathrm{Res}(f,z_{0})=\frac{g(z_{0})}{h'(z_{0})}$$

• Generalización

  Supongamos que $g$ tiene un cero de orden $k$ en $z_{0}$ y que $h$ tiene un cero de orden $k+1$ en $z_{0}$. Entonces $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ tiene un polo simple en $z_{0}$, y

  $$\mathrm{Res}(f,z_{0})=(k+1)\frac{g^{(k)}(z_{0})}{h^{(k+1)}(z_{0})}$$

• Residuo en polo de orden dos

  Sean $g,h$ analíticas en $z_{0}$, y supongamos que $g(z_{0})\ne 0$, $h(z_{0})=h'(z_{0})=0$ y $h''(z_{0})\ne 0$. Entonces $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ tiene un polo de orden dos en $z_{0}$, y

  $$\mathrm{Res}(f,z_{0})=2\frac{g'(z_{0})}{h''(z_{0})}-\frac{2}{3}\frac{g(z_{0})h'''(z_{0})}{[h''(z_{0})]^2}$$

• Teorema del residuo

  Sea $D\subseteq \mathbb{C}$ un dominio estrellado. Sean $z_{1}, z_{2},\ldots,z_{n}\in D$. Sea $f$ una función analítica en $D-\{z_{1}, z_{2},\ldots,z_{n}\}$. Sea $\gamma$ una curva cerrada en $D$ que no pasa por alguno de los puntos $z_{1},z_{2},\ldots,z_{n}$. Entonces:

  $$\int_{\gamma}f(z)\,dz=2\pi i\sum_{i=1}^{n}[\mathrm{Res}(f,z_{0})n(f,z_{0})].$$

Cálculo de integrales reales

• Cálculo de integral impropia

  Sea $f$ analítica en $\mathbb{C}$, salvo por una cantidad finita de polos, ninguno en el eje real. Supongamos que existen $M,R$ tales que:

  $$|f(z)| \leq \frac{M}{|z|^2}.$$

  para $\vert z\vert \geq R$. Entonces $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$ es igual a:

  $$2\pi i\sum [\text{residuos de \(f\) en el semiplano superior}]$$

• Observación

  Las hipótesis del teorema anterior se cumplen para $f=\frac{P}{Q}$, si $P,Q$ son polinomios, el grado de $Q$ es mayor que $2+\mathrm{grado}(P)$, y $Q$ no tiene ceros en el eje real.