A cada complejo simplicial \(\Delta\) le queremos asociar un espacio topológico que denotaremos con \(|\Delta|\), que se llama su realización geométrica.

Vamos a considerar un número \(n\) suficientemente grande, y entonces \(|\Delta|\) será un subespacio de \(\mathbb{R}^{n}\).

Por cada simplejo de dimensión 0, ponemos un punto en \(\mathbb{R}^{n}\). Por cada simplejo de dimensión \(1\), ponemos un segmento de recta entre los puntos del simplejo. Por cada simplejo de dimensión 2, ponemos un triángulo entre sus vértices, etc.

• Consideremos el complejo simplicial \(\Delta_{1}\) con facetas \(\{\{1,2,3\},\{2,4\}\}\).
• \(\Delta_{2}\) con caras maximales \(\{12,23,34,145\}\).
• \(\Delta_{3}\) con caras maximales \(\{012,123,03\}\).
• \(\Delta_{4}\) con caras maximales \(\{145,246,356,12,23,13\}\).
• \(\Delta_{5}\) con caras maximales \(\{12345\}\) (4-simplejo).
• Tarea: \(\Delta_{6}\) con caras maximales \(\{124,126,134,135,156,235,245,236,346,456\}\).

Decimos que el conjunto \(\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\) es afínmente independiente si \(\{v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots,v_{d}-v_{0}\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\) es linealmente independiente. Por convención, todo conjunto con un solo punto es afínmente independiente.

Cuando un conjunto de puntos en \(\mathbb{R}^{n}\) es afínmente independiente, también se dice que los puntos están en posición general.

Tarea Demuestra que el conjunto \(\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\}\) es afínmente independiente si y solo si \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}=0\) y \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}=0\) implican que \(t_{0}=t_{1}=\cdots=t_{d}=0\). Por lo tanto, la propiedad de que un conjunto sea afínmente independiente no depende del punto escogido como \(v_{0}\).

Ejemplo En \(\mathbb{R}^{3}\), el conjunto \(\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\) es afínmente independiente.

Tarea Demuestra que si un conjunto no es afínmente independiente, pasa uno de:

• hay tres puntos colineales
• hay cuatro puntos coplanares
• etc.

Consideremos el conjunto \(A=\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\) que sea afínmente independiente. El simplejo geométrico generado por \(A\) es el subespacio: \(|A|=\{\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}\mid t_{i}\geq 0, \sum_{i=0}^{d}t_{i}=1\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\).

Por ejemplo, el simplejo geométrico generado por un punto es el mismo punto. Si \(A=\{v_{0},v_{1}\}\), entonces \(|A|\) es el segmento de recta de \(v_{0}\) a \(v_{1}\). Si \(A=\{v_{0},v_{1},v_{2}\}\), entonces \(|A|\) es el triángulo con vértices \(v_{0},v_{1},v_{2}\), etc.

Todo elemento de la forma \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}\) con \(t_{i}\geq0\) y \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}=1\), se llama una combinación convexa de \(v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\).

Tarea Demuestra que si \(\alpha\in|A|\), los números \(t_{i}\) tales que \(\alpha=\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}\) están unívocamente determinados.