Característica de Euler

25 Jan 2021 La presentación en pdf

Sea \(\Delta\) un complejo simplicial de dimensión \(d\). Sea \(f_{i}(\Delta)\) igual a la cantidad de simplejos en \(\Delta\) de dimensión \(i\) para \(i=-1,0,1,\ldots,d\). El f-vector de \(\Delta\) está definido como \(f(\Delta)=(f_{-1},f_{0},f_{1},\ldots,f_{d})\).

La característica (reducida) de Euler \(\tilde{\chi}(\Delta)\) de \(\Delta\) se define como \(\tilde{\chi}(\Delta)=\sum_{i=-1}^{d}(-1)^{i}f_{i}(\Delta)\). (En general, durante el curso, toda característica de Euler será reducida)

Por ejemplo, si \(\Delta\) es el complejo simplicial con caras maximales \(12,13,23\), entonces \(\Delta\) tiene dimensión \(d=2\), su f-vector es \(f(\Delta)=(1,3,3)\), y su característica de Euler es \(\tilde{\chi}(\Delta)=-1+3-3=-1\).

Si \(\Delta=\mathcal{P}(\{1,2,\ldots,n\})\), entonces \(\Delta\) tiene dimensión \(d=n-1\), \(f_{i}(\Delta)=\binom{n}{i+1}\), y su característica de Euler es \(\tilde{\chi}(\Delta)=\sum_{i=-1}^{n-1}(-1)^{i}\binom{n}{i+1}=0\).

Similarmente, vimos varios ejemplos de triangulaciones de un polígono en \(\mathbb{R}^{2}\), y todas tuvieron característica de Euler igual a 0. (Es decir, observamos que si tenemos una triangulación del espacio \(D^{2}=\{x\in \mathbb{R}^{2}\mid |x|\leq 1\}\), su característica de Euler es 0).

También vimos triangulaciones de la esfera, como el octaedro y el icosaedro, y algunas triangulaciones no regulares, y todas ellas tuvieron característica de Euler igual a 1. Concluimos que el valor de la característica de Euler depende más de la forma que de la métrica.