Sean \(X,Y\) dos espacios topológicos. Sean \(f,g\colon X\to Y\) dos funciones continuas. Una homotopía entre \(f\) y \(g\) es una función continua \(H\colon X\times I\to Y\) tal que:

• \(H(x,0)=f(x)\) para todos \(x\in X\),
• \(H(x,1)=g(x)\) para todos \(x\in X\). Si existe una homotopía entre \(f\) y \(g\), decimos que \(f,g\) son homotópicas, y escribimos \(f\simeq g\).

Para cada \(t_{0}\in I\) fijo, tenemos que \(x\mapsto H(x,t_{0})\) es una función continua de \(X\) en \(Y\). La definición de homotopía entonces exige que haya una manera de cambiar continuamente desde la función \(f\) hasta la función \(g\).

La relación de homotopía es una relación de equivalencia en el conjunto de funciones continuas de \(X\) a \(Y\). (No lo vamos a demostrar, pero como ejercicio se deja demostrar que es reflexiva y simétrica).

Sean \(X,Y\) dos espacios y \(f\colon X\to Y\) una función continua. Decimos que \(f\) es una equivalencia homotópica si existe \(g\colon Y\to X\) continua tal que \(g\circ f\simeq 1_{X}\) y \(f\circ g\simeq 1_{Y}\). Si existe una equivalencia homotópica entre \(X\) y \(Y\), decimos que \(X,Y\) son homotópicos, o bien que tienen el mismo tipo de homotopía, y lo denotamos \(X\simeq Y\). En este caso, se dice que \(g\) es una inversa homotópica de \(f\).

Si dos espacios son homeomorfos, entonces son homotópicos.

Demuestra que la relación de homotopía es una relación de equivalencia en la clase de todos los espacios topológicos.

Sea \(X\) un espacio, y sea \(Y\subseteq X\) un subespacio. Sea \(D\colon X\times I\to X\) continua tal que:

• \(D(x,0)=x\) para todo \(x\in X\),
• \(D(x,1)\in Y\) para todo \(x\in X\).
• \(D(y,t)=y\) para todos \(y\in Y\), \(t\in I\). Decimos que \(D\) define un retracto fuerte por deformación de \(X\) en \(Y\).

Si \(D\) es un retracto fuerte por deformación de \(X\) en \(Y\), se tiene que \(X\simeq Y\).

Sea \(f\colon X\to Y\) dada por \(f(x)=D(x,1)\). Sea \(g\colon Y\to X\) dada por la inclusión (es decir, \(g(y)=y\)). Entonces:

• Si \(y\in Y\), tenemos que \((f\circ g)(y)=f(g(y))=f(y)=D(y,1)=y\). Es decir \(f\circ g= 1_{Y}\).
• Si \(x\in X\), tenemos que \((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(D(x,1))=D(x,1)\). Observemos que \(D\) es una homotopía entre \(1_{X}\) y \(g\circ f\), pues:
  • \(D(x,0)=x=1_{X}(x)\),
  • \(D(x,1)=(g\circ f)(x)\).

Di un espacio sencillo al cual es homotópica la banda de Moebius.