Sea \(\Delta_{1}\) un complejo simplicial en \(X\) y sea \(\Delta_{2}\) un complejo simplicial en \(Y\). Un mapeo simplicial \(f\colon \Delta_{1}\to\Delta_{2}\) es una función \(f\colon X\to Y\) tal que \(f(\sigma)\in\Delta_{2}\) para \(\sigma\in\Delta_{1}\).

Sea \(X=\{1,2,3,4\}\). Sea \(\Delta_{1}=\{\emptyset,1,2,3,4,12,13,23,24,34,123,234\}\). Sea \(Y=\{a,b,c\}\). Sea \(\Delta_{2}=\{\emptyset,a,b,c,ab,ac\}\).

• Sea \(f\colon X\to Y\) tal que \(f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c,f(4)=a\). Tenemos que \(f(23)=bc\), el cual no es un elemento de \(\Delta_{2}\), por lo que \(f\) no es un mapeo simplicial
• Sea \(g\colon X\to Y\) tal que \(g(1)=a,g(2)=c,g(3)=c,g(4)=a\). Entonces \(g\) es un mapeo simplicial.
• Sea \(h\colon X\to Y\) tal que \(h(1)=b,h(2)=a,h(3)=a,h(4)=c\). Entonces \(h\) es un mapeo simplicial.

Un mapeo simplicial \(f\colon \Delta_{1}\to\Delta_{2}\) induce una función continua \(|f|\colon |\Delta_{1}|\to |\Delta_{2}|\).

Demuestra que:

• el mapeo identidad \(\Delta\to\Delta\) es un mapeo simplicial.
• la composición de dos mapeos simpliciales es un mapeo simplicial.

Una categoría \(\mathbf{C}\) consta de:

• Una clase de objetos \(\mathrm{obj}\mathbf{C}\).
• Para cada pareja de objetos \(A,B\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\), un conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\), cuyos elementos se llaman morfismos de \(A\) en \(B\). Los morfismos tienen que satisfacer:
  • Para cada \(A,B,D\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\), existe una función \(\mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\times\hom_{\mathbf{C}}(B,D)\to \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,D)\) llamada composición, denotada \((f,g)\mapsto g\circ f\).
  • Si \(f\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\), \(g\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(B,D)\), \(h\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(D,E)\), se tiene que \(h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\).
  • Para cada \(A\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\), existe \(1_{A}\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,A)\) tal que si \(A,B\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\) y \(f\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\), entonces \(1_{B}\circ f=f\circ 1_{A}=f\). El morfismo \(1_{A}\) se llama identidad en \(A\).

• Consideremos la categoría \(\mathbf{SimpComp}\) cuya clase de objetos es la clase de todos los complejos simpliciales abstractos y si \(\Delta_{1},\Delta_{2}\in \mathrm{obj}\mathbf{SimpComp}\), el conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{SimpComp}}(\Delta_{1},\Delta_{2})\) es el conjunto de los mapeos simpliciales de \(\Delta_{1}\) a \(\Delta_{2}\).
• La categoría \(\mathbf{Top}\), cuya clase de objetos es la clase de todos los espacios topológicos y si \(X,Y\) son espacios topológicos, el conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Top}}(X,Y)\) es el conjunto de las funciones continuas de \(X\) a \(Y\).
• La categoría \(\mathbf{Set}\), cuya clase de objetos es la clase de todos los conjuntos y si \(A,B\) son conjuntos, el conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Set}}(A,B)\) consta de las funciones de \(A\) en \(B\).
• La categoría Graph cuya clase de objetos es la clase de todas las gráficas y si \(G_{1},G_{2}\) son dos gráficas se tiene que \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Graph}}(G_{1},G_{2})\) consta de las funciones \(f\colon V(G_{1})\to V(G_{2})\) tales que si \(v_{1}\sim v_{2}\) en \(G_{1}\), entonces \(f(v_{1})\sim f(v_{2})\) en \(G_{2}\) o \(f(v_{1})=f(v_{2})\).
• La categoría Poset cuya clase de objetos es la clase de todos los conjuntos parcialmente ordenados y si \(P_{1},P_{2}\) son dos copos, \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Poset}}(P_{1},P_{2})\) consta de las funciones \(f\colon P_{1}\to P_{2}\) tales que si \(x_{1}\leq x_{2}\) en \(P_{1}\) se tiene que \(f(x_{1})\leq f(x_{2})\) en \(P_{2}\).
• Sea \(F\) un campo. La categoría \(\mathbf{FVect}\) cuya clase de objetos son los espacios vectoriales sobre \(F\) y si \(V,W\) son \(F\)-espacios vectoriales, se tiene que \(\mathrm{hom}_{\mathbf{FVect}}(V,W)\) es el conjunto de las transformaciones lineales de \(V\) en \(W\).
• La categoría Grp de los grupos.
• La categoría AbGrp de los grupos abelianos.
• Sea \(G\) un grupo. Definiremos una categoría \(\mathbf{G}\), donde \(\mathrm{obj}\mathbf{G}=\{*\}\). Definimos \(\mathrm{hom}_{\mathbf{G}}(*,*)=G\). Definimos \(1_{*}\) como el elemento neutro de \(G\). Definimos \(\hom_{\mathbf{G}}(*,*)\times \hom_{\mathbf{G}}(*,*)\to \hom_{\mathbf{G}}(*,*) \) como la operación en el grupo.