Una permutación es una función biyectiva \(f\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}\). Cada permutación se puede escribir como producto de ciclos. Por ejemplo, si \(n=6\), la permutación \((15)(346)\), es la función \(1\mapsto 5, 2\mapsto 2, 3\mapsto 4, 4\mapsto 6, 5\mapsto 1, 6\mapsto 3\). Una transposición es una permutación que intercambia dos números y a los demás los deja fijos, es decir una permutación que en notación cíclica se escribe \((ab)\). Toda permutación se puede escribir como producto de transposiciones. Por ejemplo \((15)(346)=(15)(34)(46)\).

Teorema Si una permutación se puede escribir como producto de una cantidad par de transposiciones, entonces no se puede escribir como producto de una cantidad impar de transposiciones.

Si una permutación se puede escribir como producto de una cantidad par de transposiciones, decimos que la permutación es par. Si no, decimos que la permutación es impar.

Por ejemplo, la permutación \((15)(346)\) es impar. Un ciclo \((a_{1}a_{2}\cdots a_{n})\) es una permutación par si \(n\) es impar, y es una permutación impar si \(n\) es par.

Sea \(\Delta\) un complejo simplicial. Supongamos que damos un orden total a los vértices de \(\Delta\). Un \(p\)-simplejo ordenado es \((v_{0},v_{1},\ldots,v_{p})\) tal que \(\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{p}\}\) es un simplejo de dimensión \(p\) en \(\Delta\). Supongamos que \((w_{0},w_{1},\ldots,w_{p})\) es un \(p\)-simplejo ordenado tal que \(\{w_{0},w_{1},\ldots,w_{p}\}=\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{p}\}\). Diremos que la orientación es la misma, si la permutación \(v_{i}\to w_{i}\) para \(i=0,1,\ldots,p\) es par. En caso contrario, diremos que los simplejos orientados tienen orientación opuesta.

Notación Un simplejo \(\sigma\) cuando está orientado se denotará con \(\hat{\sigma}\).

Sea \(\Delta^{p}\) el conjunto de todos los \(p\)-simplejos orientados. Sea \(R\in\{\mathbb{Z},\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{F}_{2}\}\). Una \(p\)-cadena es una función \(c\colon \Delta^{p}\to R\) tal que \(c(\hat{\sigma})=-c(\hat{\sigma'})\) si \(\sigma=\sigma'\), pero \(\hat{\sigma}\) tiene orientación diferente a \(\hat{\sigma'}\).

El campo \(\mathbb{F}_{2}\). Consideremos \(\mathbb{F}_{2}=\{0,1\}\). Definimos una suma en \(\mathbb{F}_{2}\) como \(0+0=0\), \(1+0=0+1=1\), \(1+1=0\). Definimos un producto como \(a0=a0=0\) para todo \(a\in \mathbb{F}_{2}\), \(11=1\). Entonces \(\mathbb{F}_{2}\) con esta suma y producto, satisface los axiomas de campo. Notemos que como \(1+1=0\), entonces \(1=-1\). Por lo que si \(R=\mathbb{F}_{2}\), no es necesario para la definición de homología considerar orientaciones.

Ejemplo Sea \(\Delta\) el complejo simplicial con caras maximales \(\{\{1,2,3\},\{3,4\},\{2,4\}\}\). Sea \(R=\mathbb{Z}\). Una 1-cadena \(c\) está dada por: \(1\wedge 2\mapsto 3\), \(1\wedge 3\mapsto 4\), \(2\wedge 3\mapsto -4\), \(3\wedge 4\mapsto -1\), \(2\wedge 4\mapsto 0\). En particular \(c(2\wedge 1)=-3\), \(c(4\wedge 2)=0\).

Para determinar una 2-cadena, definamos \(c'(1\wedge 2\wedge 3)=1\). Esto determina \(c'(2\wedge 3\wedge 1)=1\) y \(c'(2\wedge 1\wedge 3)=-1\).

Si \(c\) y \(c'\) son dos \(p\)-cadenas, definimos \((c+c')(\hat{\sigma})=c(\hat{\sigma})+c'(\hat{\sigma})\). La colección de todas las \(p\)-cadenas \(C_{p}(\Delta,R)\) forma un grupo con esta operación. Más aún, si \(R\) es un campo, entonces a \(C_{p}(\Delta,R)\) se le puede dar estructura de un espacio vectorial.

Si \(p>\dim\Delta\), definimos \(C_{p}(\Delta,R)=0\) (el espacio cero).

Cada \(p\)-simplejo orientado \(\hat{\sigma}\) determina una \(p\)-cadena, donde la \(p\)-cadena asociada a \(\hat{\sigma}\) se define como \(1\) en el simplejo orientado \(\hat{\sigma}\), \(-1\) en el simplejo orientado \(\hat{\sigma'}\) y 0 en los demás simplejos orientados. Tal cadena se llama una \(p\)-cadena elemental. La cadena elemental determinada por el simplejo orientado \(\hat{\sigma}\) se denotará con \(\hat{\sigma}\).

Se puede demostrar que si para cada \(p\)-simplejo escogemos una orientación, las \(p\)-cadenas elementales así obtenidas forman una base de \(C_{p}(\Delta,R)\) cuando \(R\) es un campo. Es decir, \(\dim C_{p}(\Delta,R)=f_{p}\) (donde \(f\) es el \(f\)-vector). Ejercicio Demostrar lo que se afirma en este párrafo.

(Si \(R=\mathbb{Z}\), entonces se obtiene una base, y se muestra que \(C_{p}(\Delta,\mathbb{Z})\) es un grupo abeliano libre).

Sea \(\hat{\sigma}=v_{0}\wedge v_{1}\wedge\cdots\wedge v_{p}\) una \(p\)-cadena elemental. Definimos la frontera de \(\hat{\sigma}\) como:

\begin{equation} \partial_{p}(\hat{\sigma})=\sum_{i=0}^{p}(-1)^{i}v_{0}\wedge v_{1}\wedge\cdots\wedge \hat{v_{i}}\wedge\cdots \wedge v_{p}. \end{equation}

Esta definición se extiende linealmente para obtener una transformación lineal \(\partial_{p}\colon C_{p}(\Delta,R)\to C_{p-1}(\Delta,R)\). Observación Hay que checar la definición de frontera no depende de la orientación escogida, es decir que \(\partial_{p} \hat{\sigma}=-\partial_{p} \hat{\sigma'}\).

Ejemplo. Consideremos \(1\wedge 2\wedge 3\in C_{2}(\Delta,R)\). Tenemos que \(\partial_{2}(1\wedge 2\wedge 3)=(-1)^{0}2\wedge 3+(-1)^{1}1\wedge 3+(-1)^{2}1\wedge 2=2\wedge 3-1\wedge 3+1\wedge 2\). Además \(\partial_{2} (1\wedge 3\wedge 2)=(-1)^{0} 3\wedge 2+(-1)^{1}1\wedge 2+(-1)^{2}1\wedge 3=3\wedge 2-1\wedge 2+1\wedge 3=-\partial_{2}(1\wedge 2\wedge 3)\).

Si \(\hat{\sigma}=v_{0}\in C_{0}(\Delta,R)\), definimos \(\partial_{0}(\hat{\sigma})=1\in R=C_{-1}(\Delta,R)\).

Teorema La composición de \(\partial_{p+1}\colon C_{p+1}(\Delta,R)\to C_{p}(\Delta,R)\) con \(\partial_{p}\colon C_{p}(\Delta,R)\to C_{p-1}(\Delta,R)\) es cero para \(p\geq 0\). Es decir \(\partial_{p}\circ\partial_{p+1}=0\).

Ejemplo \(\partial_{1}\partial_{2}(1\wedge 2\wedge 3)=\partial_{1}(2\wedge 3)-\partial_{1}(1\wedge 3)+\partial_{1}(1\wedge 2)=(3-2)-(3-1)+(2-1)=0\). \(\partial_{0}\partial_{1}(a\wedge b)=\partial_{0}(b-a)=\partial_{0}(b)-\partial_{0}(a)=1-1=0\).

Ejercicio Demuestra que \(\partial_{2}\partial_{3}(a\wedge b\wedge c\wedge d)=0\).

Definición Para cada \(p\geq 0\), el \(p\)-espacio de ciclos \(Z_{p}(\Delta,R)\) es \(\ker\partial_{p}\). El \(p\)-espacio de fronteras \(B_{p}(\Delta,R)\) es \(\mathrm{im}\partial_{p+1}\). Nótese que ambos son subespacios de \(C_{p}(\Delta,R)\). Por el teorema anterior

\begin{equation} B_{p}(\Delta,R) \leq Z_{p}(\Delta,R). \end{equation}

[pues si \(c\in B_{p}(\Delta, R)\), existe \(d\in C_{p+1}(\Delta,R)\) tal que \(\partial_{p+1}(d)=c\). Entonces \(\partial_{p}(c)=\partial_{p}(\partial_{p+1}(d))=0\)]

Para \(p\geq 0\), la \(p\)-homología (reducida) de \(\Delta\) con coeficientes en \(R\) es el cociente \(Z_{p}(\Delta,R)/B_{p}(\Delta,R)\).