Ejemplos de cadenas

01 Mar 2021 La presentación en pdf

Consideremos el complejo simplicial \(\Delta\) cuyo conjunto de caras maximales es \(\mathcal{F}(\Delta)=\{123,24,34\}\).

Escribamos listas de simplejos de \(\Delta\) de acuerdo a su dimensión:

• (-1)-simplejo: \(\emptyset\).
• 0-simplejos: 1,2,3,4.
• 1-simplejos: 12, 13, 23, 24, 34.
• 2-simplejo: 123.

Ahora, escribamos listas de simplejos orientados de \(\Delta\).

• (-1)-simplejo orientado: \(\emptyset\).
• 0-simplejos orientados: 1,2,3,4.
• 1-simplejos orientados: \(1\wedge 2, 1\wedge 3, 2\wedge 3, 2\wedge 4, 3\wedge 4, 2\wedge 1, 3\wedge 1, 3\wedge 2, 4\wedge 2, 4\wedge 3\).
• 2-simplejos orientados: \(1\wedge 2\wedge 3, 1\wedge 3\wedge 2\).

Recordemos que si \(R\in\{\mathbb{Z},\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{F}_{2}\}\). Una \(p\)-cadena es una función \(c\colon \Delta^{p}\to R\) tal que \(c(\hat{\sigma})=-c(\hat{\sigma'})\) si \(\sigma=\sigma'\), pero \(\hat{\sigma}\) tiene orientación diferente a \(\hat{\sigma'}\).

Representemos una cadena como una matriz con dos renglones, donde en el primer renglón colocaremos a los elementos del dominio (los simplejos orientados) y en el segundo renglón pondremos los valores asociados.

Por ejemplo:

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ -3 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{equation}

es una 0-cadena,

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1\wedge 2& 1\wedge 3& 2\wedge 3& 2\wedge 4& 3\wedge 4& 2\wedge 1& 3\wedge 1& 3\wedge 2& 4\wedge 2& 4\wedge 3\\ -3 & 2 & 0 & -2 & 10 & 3 & -2 & 0 & 2 & -10 \end{pmatrix} \end{equation}

es una 1-cadena, y

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1\wedge 2\wedge 3& 1\wedge 3\wedge 2\\ 3 & -3 \end{pmatrix} \end{equation}

es una 2-cadena.

Hay varias simplificaciones que podemos hacer a la notación. Por ejemplo, en la 1-cadena 1, se puede no escribir las segundas cinco entradas, ya que están determinadas por las primeras cinco entradas. Es decir, tal cadena podría haberse escrito simplemente como:

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1\wedge 2& 1\wedge 3& 2\wedge 3& 2\wedge 4& 3\wedge 4\\ -3 & 2 & 0 & -2 & 10\\ \end{pmatrix} \end{equation}

Similarmente, una 2-cadena como 2 está determinada por su valor en \(1\wedge 2\wedge 3\).

Dos \(p\)-cadenas se pueden sumar, obteniendo otra \(p\)-cadena. También se pueden multiplicar por elementos de \(R\).

Cada simplejo orientado determina una cadena. Por ejemplo, \(1\wedge 3\) determina:

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1\wedge 2& 1\wedge 3& 2\wedge 3& 2\wedge 4& 3\wedge 4\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \end{equation}

Estas cadenas se llaman cadenas elementales. La cadena elemental anterior se denotará simplemente como \(1\wedge 3\).