Grupos abelianos

09 Mar 2021 La presentación en pdf

Un grupo abeliano es un grupo donde la operación es conmutativa. Por convención, la operación en un grupo abeliano se escribe \(+\).

Si \(A\) es un grupo abeliano, podemos definir \(na\) donde \(n\in \mathbb{Z}\) y \(a\in A\), de la siguiente manera:

\begin{equation} na= \begin{cases} a+a+\cdots+a & \text{si \(n>0\)},\\ 0 & \text{si \(n=0\)},\\ -(-n)a & \text{si \(n<0\)} \end{cases} \end{equation}

(es decir, un grupo abeliano es un \(\mathbb{Z}\)-módulo).

En un grupo abeliano, cualquier subgrupo \(B\leq A\) es normal. Los elementos del grupo cociente \(A/B\) son las clases laterales de los elementos de \(A\). La clase de \(a\in A\) se puede escribir como \(a+B\) o como \(\overline{a}\).

Recordemos: \(a_{1}\sim a_{2}\) si \(a_{1}-a_{2}\in B\) define una relación de equivalencia en \(A\) donde las clases son las clases laterales.

Ejemplos:

• Sabemos que si \(A=\mathbb{Z}\), todo subgrupo de \(A\) es de la forma \(n\mathbb{Z}=\{na\mid a\in \mathbb{Z}\}\) para algún entero positivo \(n\) (puesto que todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico). En este caso, la relación \(a_{1}\sim a_{2}\) si y solo si \(a_{1}-a_{2}\in n\mathbb{Z}\) se traduce en que \(a_{1}\sim a_{2}\) si y solo si existe \(u\in \mathbb{Z}\) tal que \(a_{1}-a_{2}=nu\). Y esto a su vez quiere decir \(a_{1}\equiv a_{2} \mod n\) . Cada clase de equivalencia de acuerdo a ésta relación es una clase lateral, y podemos escoger a \(0,1,2,\ldots,n-1\) como representantes de las clases. Por lo tanto el grupo \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1}\}\).
• Si \(A,B\) son grupos abelianos, definimos \(A\oplus B=\{(a,b)\mid a\in A, b\in B\}\). La operación se define como \((a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})\). Con ésta operación, se tiene un grupo abeliano.
• Consideremos el grupo abeliano \(\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{Z}\}\). Este grupo tiene subgrupos de la forma \(m\mathbb{Z}\oplus n\mathbb{Z}\). En este caso, el cociente es \((\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z})/(m\mathbb{Z}\oplus n\mathbb{Z})\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\oplus (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\). [La demostración se puede hacer usando el primer teorema de isomorfismos: Si \(f\colon A\to B\) es un morfismo de grupos suprayectivo, entonces \(A/\ker f\cong B\)].
• Consideremos el subgrupo de \(A=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\) dado por \(B=\{(a,a)\mid a\in \mathbb{Z}\}\). En este caso, el cociente \(A/B\) se puede obtener usando el morfismo \(f\colon A\to \mathbb{Z}\) dado por \(f(a,b)=a-b\). Este morfismo es suprayectivo y su kernel es \(B\). Por lo tanto, \(A/B\cong \mathbb{Z}\) por el primer teorema de isomorfismos, donde el isomorfismo está dado por \(\overline{f}(\overline{(a,b)})=f(a,b)=a-b\). Como \(\overline{f}(\overline{(1,0)})=1\), se tiene que \(A/B=\langle \overline{(1,0)}\rangle\). Esto implica que toda clase de \(A/B\) se puede representar por un elemento de la forma \((a,0)\). Como ejercicio, encuentra el representante de la clase de \((a,b)\).

• Consideremos el subgrupo de \(A=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}\) dado por \(B=\{a(-2,2)+b(2,4)\mid a,b\in \mathbb{Z}\}\). El cociente de \(A/B\) es: \(A/B=\{\overline{(0,0)},\overline{(0,1)},\overline{(-1,3)},\overline{(1,0)},\overline{(2,0)},\overline{(3,0)},\overline{(0,3)}\}\).

  ¿ \((2,0)-(1,0)=(1,0)\in B\) ? ¿Existen \(a,b\in \mathbb{Z}\) tales que \((1,0)=a(-2,2)+b(2,4)\)?

  ¿Existen \(x,y\in \mathbb{Z}\) tales que \(\overline{(x,y)}=\overline{(0,8)}\), donde \(x,y\) sean “más sencillos”.

  Tenemos que \(\overline{(2,0)}=\overline{(0,2)}\), pues \((2,-2)\in B\).