Sean \(X,Y\) dos espacios topológicos. Sean \(f,g\colon X\to Y\) dos funciones continuas. Una homotopía entre \(f\) y \(g\) es una función continua \(H\colon X\times I\to Y\) tal que:

• \(H(x,0)=f(x)\) para todos \(x\in X\),
• \(H(x,1)=g(x)\) para todos \(x\in X\). Si existe una homotopía entre \(f\) y \(g\), decimos que \(f,g\) son homotópicas, y escribimos \(f\simeq g\).

Para cada \(t_{0}\in I\) fijo, tenemos que \(x\mapsto H(x,t_{0})\) es una función continua de \(X\) en \(Y\). La definición de homotopía entonces exige que haya una manera de cambiar continuamente desde la función \(f\) hasta la función \(g\).

La relación de homotopía es una relación de equivalencia en el conjunto de funciones continuas de \(X\) a \(Y\). (No lo vamos a demostrar, pero como ejercicio se deja demostrar que es reflexiva y simétrica).

Sean \(X,Y\) dos espacios y \(f\colon X\to Y\) una función continua. Decimos que \(f\) es una equivalencia homotópica si existe \(g\colon Y\to X\) continua tal que \(g\circ f\simeq 1_{X}\) y \(f\circ g\simeq 1_{Y}\). Si existe una equivalencia homotópica entre \(X\) y \(Y\), decimos que \(X,Y\) son homotópicos, o bien que tienen el mismo tipo de homotopía, y lo denotamos \(X\simeq Y\). En este caso, se dice que \(g\) es una inversa homotópica de \(f\).

Si dos espacios son homeomorfos, entonces son homotópicos.

Demuestra que la relación de homotopía es una relación de equivalencia en la clase de todos los espacios topológicos.

Sea \(X\) un espacio, y sea \(Y\subseteq X\) un subespacio. Sea \(D\colon X\times I\to X\) continua tal que:

• \(D(x,0)=x\) para todo \(x\in X\),
• \(D(x,1)\in Y\) para todo \(x\in X\).
• \(D(y,t)=y\) para todos \(y\in Y\), \(t\in I\). Decimos que \(D\) define un retracto fuerte por deformación de \(X\) en \(Y\).

Si \(D\) es un retracto fuerte por deformación de \(X\) en \(Y\), se tiene que \(X\simeq Y\).

Sea \(f\colon X\to Y\) dada por \(f(x)=D(x,1)\). Sea \(g\colon Y\to X\) dada por la inclusión (es decir, \(g(y)=y\)). Entonces:

• Si \(y\in Y\), tenemos que \((f\circ g)(y)=f(g(y))=f(y)=D(y,1)=y\). Es decir \(f\circ g= 1_{Y}\).
• Si \(x\in X\), tenemos que \((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(D(x,1))=D(x,1)\). Observemos que \(D\) es una homotopía entre \(1_{X}\) y \(g\circ f\), pues:
  • \(D(x,0)=x=1_{X}(x)\),
  • \(D(x,1)=(g\circ f)(x)\).

Di un espacio sencillo al cual es homotópica la banda de Moebius.

Sea \(S\subseteq \mathbb{R}^{n}\) finito. Sea \(\epsilon>0\). Sea \(\mathcal{C}=\{B_{\frac{\epsilon}{2}}(x)\mid x\in S\}\). El complejo de Rips \(\Delta_{\epsilon}(S)\) es el complejo de completas de la gráfica de intersección de la colección \(\mathcal{C}\) (es decir, \(\Delta(\mathcal{C})\)).

• Un conjunto \(\{x_{0},x_{1},\ldots,x_{k}\}\subseteq S\) define un \(k\)-simplejo si y solo si \(d(x_{i},x_{j})<\epsilon\) para todos \(i,j=0,1,\ldots,k\).
• Si \(\epsilon_{1}<\epsilon_{2}\), entonces \(\Delta_{\epsilon_{1}}(S)\) es un subcomplejo de \(\Delta_{\epsilon_{2}}(S)\).

• Un conjunto \(\{x_{0},x_{1},\ldots,x_{k}\}\subseteq S\) define un \(k\)-simplejo si y solo si existe \(z\in \mathbb{R}^{n}\) tal que \(d(x_{i},z)<\frac{\epsilon}{2}\) para todos \(i=0,1,\ldots,k\).
• Si \(\epsilon_{1}<\epsilon_{2}\), entonces \(\mathcal{N}_{\epsilon_{1}}(S)\) es un subcomplejo de \(\mathcal{N}_{\epsilon_{2}}(S)\).

Sea \(G\) una gráfica (simple, finita). Una completa de \(G\) es \(C\subseteq V(G)\) tal que si \(x_{1},x_{2}\in C\), entonces \(x_{1}\sim x_{2}\). Observemos que si \(C_{1}\) es completa de \(G\) y \(C_{2}\subseteq C_{1}\), entonces \(C_{2}\) es completa.

El complejo \(\Delta(G)\) se define como el complejo simplicial sobre \(V(G)\) cuyos simplejos son las completas de \(G\).

Si tenemos un complejo simplicial \(\Delta\) y existe una gráfica \(G\) tal que \(\Delta=\Delta(G)\), decimos que \(\Delta\) es un complejo simplicial de completas. (En inglés, \(\Delta\) se llama flag complex o clique complex).

Ejemplos. Sea \(G\) la gráfica donde el conjunto de vértices es \(V(G)=\{a,b,c,d,e,f\}\) , y el conjunto de aristas es: \(E(G)=\{ab,ac,ad,ae,af,bf,cf,de,ef\}\). Entonces se tiene que \(\mathcal{F}(\Delta(G))=\{abf,acf,ade,aef\}\).

Tarea. Muestra que existe un complejo simplicial \(\Delta\) tal que no existe gráfica \(G\) con \(\Delta(G)=\Delta\).

Tarea. Determina un criterio para que un complejo simplicial \(\Delta\) sea un complejo simplicial de completas. [Por ejemplo, ya vimos que una condición necesaria para que \(\Delta\) sea un complejo de completas, es que si \(ab,ac,bc\in\Delta\), entonces \(abc\in\Delta\). ¿Es una condición suficiente?]

Una gráfica dirigida \(D\) (o digráfica) consta de un conjunto de vértices y un conjunto de flechas, las cuales son parejas ordenadas de vértices.

Por ejemplo, consideremos la gráfica dirigida con vértices \(\{1,2,3,4\}\) y cuyas flechas sean \(\{(1,2), (2, 3), (3, 1), (2, 4)\}\).

Sea \(D\) una gráfica dirigida (cada arista tiene exactamente una dirección). Vamos a formar un complejo simplicial \(\Delta^{\to}(D)\) sobre \(V(D)\), donde \(\sigma\subseteq V(D)\) es un simplejo si la subdigráfica dirigida de \(D\) inducida por \(\sigma\) es completa y sea acíclica (es decir, que no tenga ciclos dirigidos).

Tarea. Muestra que una digráfica completa y acíclica tiene un sumidero y una fuente. (Un sumidero es un vértice a donde todas sus flechas llegan, una fuente es un vértice de donde todas sus aristas salen)

Sea \(\mathcal{C}\) una colección de subconjuntos de un conjunto \(X\). (Es decir \(\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(X)\)). Sea \(G\) la gráfica con vértices \(\mathcal{C}\), donde declaramos \(C_{1}\sim C_{2}\) si \(C_{1}\ne C_{2}\) y \(C_{1}\cap C_{2}\ne\emptyset\) (la gráfica \(G\) se llama la gráfica de intersección de la colección \(\mathcal{C}\)). A partir de la gráfica \(G\) formamos \(\Delta(G)\), la cual podríamos denotar como \(\Delta(\mathcal{C})\).

Ejemplo: Sea \(X=\{1,2,3,4,5\}\). Sea \(\mathcal{C}=\{\{2,3,5\}, \{2,3,4,5\}, \{2,4\},\{1\},\{2\}\}\).

Sea \(\mathcal{C}\) una colección de subconjuntos de un conjunto \(X\). Definimos un complejo simplicial \(\mathcal{N}(\mathcal{C})\) con vértices \(\mathcal{C}\), donde \(\sigma\subseteq \mathcal{C}\) es un simplejo si \(\cap\sigma\ne\emptyset\).

Ejemplo Sea \(X=\{1,2,3,4,5\}\) y sea \(\mathcal{C}=\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{3,4,5\}\}\).