Una permutación es una función biyectiva \(f\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}\). Cada permutación se puede escribir como producto de ciclos. Por ejemplo, si \(n=6\), la permutación \((15)(346)\), es la función \(1\mapsto 5, 2\mapsto 2, 3\mapsto 4, 4\mapsto 6, 5\mapsto 1, 6\mapsto 3\). Una transposición es una permutación que intercambia dos números y a los demás los deja fijos, es decir una permutación que en notación cíclica se escribe \((ab)\). Toda permutación se puede escribir como producto de transposiciones. Por ejemplo \((15)(346)=(15)(34)(46)\).

Teorema Si una permutación se puede escribir como producto de una cantidad par de transposiciones, entonces no se puede escribir como producto de una cantidad impar de transposiciones.

Si una permutación se puede escribir como producto de una cantidad par de transposiciones, decimos que la permutación es par. Si no, decimos que la permutación es impar.

Por ejemplo, la permutación \((15)(346)\) es impar. Un ciclo \((a_{1}a_{2}\cdots a_{n})\) es una permutación par si \(n\) es impar, y es una permutación impar si \(n\) es par.

Sea \(\Delta\) un complejo simplicial. Supongamos que damos un orden total a los vértices de \(\Delta\). Un \(p\)-simplejo ordenado es \((v_{0},v_{1},\ldots,v_{p})\) tal que \(\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{p}\}\) es un simplejo de dimensión \(p\) en \(\Delta\). Supongamos que \((w_{0},w_{1},\ldots,w_{p})\) es un \(p\)-simplejo ordenado tal que \(\{w_{0},w_{1},\ldots,w_{p}\}=\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{p}\}\). Diremos que la orientación es la misma, si la permutación \(v_{i}\to w_{i}\) para \(i=0,1,\ldots,p\) es par. En caso contrario, diremos que los simplejos orientados tienen orientación opuesta.

Notación Un simplejo \(\sigma\) cuando está orientado se denotará con \(\hat{\sigma}\).

Sea \(\Delta^{p}\) el conjunto de todos los \(p\)-simplejos orientados. Sea \(R\in\{\mathbb{Z},\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{F}_{2}\}\). Una \(p\)-cadena es una función \(c\colon \Delta^{p}\to R\) tal que \(c(\hat{\sigma})=-c(\hat{\sigma'})\) si \(\sigma=\sigma'\), pero \(\hat{\sigma}\) tiene orientación diferente a \(\hat{\sigma'}\).

El campo \(\mathbb{F}_{2}\). Consideremos \(\mathbb{F}_{2}=\{0,1\}\). Definimos una suma en \(\mathbb{F}_{2}\) como \(0+0=0\), \(1+0=0+1=1\), \(1+1=0\). Definimos un producto como \(a0=a0=0\) para todo \(a\in \mathbb{F}_{2}\), \(11=1\). Entonces \(\mathbb{F}_{2}\) con esta suma y producto, satisface los axiomas de campo. Notemos que como \(1+1=0\), entonces \(1=-1\). Por lo que si \(R=\mathbb{F}_{2}\), no es necesario para la definición de homología considerar orientaciones.

Ejemplo Sea \(\Delta\) el complejo simplicial con caras maximales \(\{\{1,2,3\},\{3,4\},\{2,4\}\}\). Sea \(R=\mathbb{Z}\). Una 1-cadena \(c\) está dada por: \(1\wedge 2\mapsto 3\), \(1\wedge 3\mapsto 4\), \(2\wedge 3\mapsto -4\), \(3\wedge 4\mapsto -1\), \(2\wedge 4\mapsto 0\). En particular \(c(2\wedge 1)=-3\), \(c(4\wedge 2)=0\).

Para determinar una 2-cadena, definamos \(c'(1\wedge 2\wedge 3)=1\). Esto determina \(c'(2\wedge 3\wedge 1)=1\) y \(c'(2\wedge 1\wedge 3)=-1\).

Si \(c\) y \(c'\) son dos \(p\)-cadenas, definimos \((c+c')(\hat{\sigma})=c(\hat{\sigma})+c'(\hat{\sigma})\). La colección de todas las \(p\)-cadenas \(C_{p}(\Delta,R)\) forma un grupo con esta operación. Más aún, si \(R\) es un campo, entonces a \(C_{p}(\Delta,R)\) se le puede dar estructura de un espacio vectorial.

Si \(p>\dim\Delta\), definimos \(C_{p}(\Delta,R)=0\) (el espacio cero).

Cada \(p\)-simplejo orientado \(\hat{\sigma}\) determina una \(p\)-cadena, donde la \(p\)-cadena asociada a \(\hat{\sigma}\) se define como \(1\) en el simplejo orientado \(\hat{\sigma}\), \(-1\) en el simplejo orientado \(\hat{\sigma'}\) y 0 en los demás simplejos orientados. Tal cadena se llama una \(p\)-cadena elemental. La cadena elemental determinada por el simplejo orientado \(\hat{\sigma}\) se denotará con \(\hat{\sigma}\).

Se puede demostrar que si para cada \(p\)-simplejo escogemos una orientación, las \(p\)-cadenas elementales así obtenidas forman una base de \(C_{p}(\Delta,R)\) cuando \(R\) es un campo. Es decir, \(\dim C_{p}(\Delta,R)=f_{p}\) (donde \(f\) es el \(f\)-vector). Ejercicio Demostrar lo que se afirma en este párrafo.

(Si \(R=\mathbb{Z}\), entonces se obtiene una base, y se muestra que \(C_{p}(\Delta,\mathbb{Z})\) es un grupo abeliano libre).

Sea \(\hat{\sigma}=v_{0}\wedge v_{1}\wedge\cdots\wedge v_{p}\) una \(p\)-cadena elemental. Definimos la frontera de \(\hat{\sigma}\) como:

Esta definición se extiende linealmente para obtener una transformación lineal \(\partial_{p}\colon C_{p}(\Delta,R)\to C_{p-1}(\Delta,R)\). Observación Hay que checar la definición de frontera no depende de la orientación escogida, es decir que \(\partial_{p} \hat{\sigma}=-\partial_{p} \hat{\sigma'}\).

Ejemplo. Consideremos \(1\wedge 2\wedge 3\in C_{2}(\Delta,R)\). Tenemos que \(\partial_{2}(1\wedge 2\wedge 3)=(-1)^{0}2\wedge 3+(-1)^{1}1\wedge 3+(-1)^{2}1\wedge 2=2\wedge 3-1\wedge 3+1\wedge 2\). Además \(\partial_{2} (1\wedge 3\wedge 2)=(-1)^{0} 3\wedge 2+(-1)^{1}1\wedge 2+(-1)^{2}1\wedge 3=3\wedge 2-1\wedge 2+1\wedge 3=-\partial_{2}(1\wedge 2\wedge 3)\).

Si \(\hat{\sigma}=v_{0}\in C_{0}(\Delta,R)\), definimos \(\partial_{0}(\hat{\sigma})=1\in R=C_{-1}(\Delta,R)\).

Teorema La composición de \(\partial_{p+1}\colon C_{p+1}(\Delta,R)\to C_{p}(\Delta,R)\) con \(\partial_{p}\colon C_{p}(\Delta,R)\to C_{p-1}(\Delta,R)\) es cero para \(p\geq 0\). Es decir \(\partial_{p}\circ\partial_{p+1}=0\).

Ejemplo \(\partial_{1}\partial_{2}(1\wedge 2\wedge 3)=\partial_{1}(2\wedge 3)-\partial_{1}(1\wedge 3)+\partial_{1}(1\wedge 2)=(3-2)-(3-1)+(2-1)=0\). \(\partial_{0}\partial_{1}(a\wedge b)=\partial_{0}(b-a)=\partial_{0}(b)-\partial_{0}(a)=1-1=0\).

Ejercicio Demuestra que \(\partial_{2}\partial_{3}(a\wedge b\wedge c\wedge d)=0\).

Definición Para cada \(p\geq 0\), el \(p\)-espacio de ciclos \(Z_{p}(\Delta,R)\) es \(\ker\partial_{p}\). El \(p\)-espacio de fronteras \(B_{p}(\Delta,R)\) es \(\mathrm{im}\partial_{p+1}\). Nótese que ambos son subespacios de \(C_{p}(\Delta,R)\). Por el teorema anterior

[pues si \(c\in B_{p}(\Delta, R)\), existe \(d\in C_{p+1}(\Delta,R)\) tal que \(\partial_{p+1}(d)=c\). Entonces \(\partial_{p}(c)=\partial_{p}(\partial_{p+1}(d))=0\)]

Para \(p\geq 0\), la \(p\)-homología (reducida) de \(\Delta\) con coeficientes en \(R\) es el cociente \(Z_{p}(\Delta,R)/B_{p}(\Delta,R)\).

Sea \(\Delta_{1}\) un complejo simplicial en \(X\) y sea \(\Delta_{2}\) un complejo simplicial en \(Y\). Un mapeo simplicial \(f\colon \Delta_{1}\to\Delta_{2}\) es una función \(f\colon X\to Y\) tal que \(f(\sigma)\in\Delta_{2}\) para \(\sigma\in\Delta_{1}\).

Sea \(X=\{1,2,3,4\}\). Sea \(\Delta_{1}=\{\emptyset,1,2,3,4,12,13,23,24,34,123,234\}\). Sea \(Y=\{a,b,c\}\). Sea \(\Delta_{2}=\{\emptyset,a,b,c,ab,ac\}\).

• Sea \(f\colon X\to Y\) tal que \(f(1)=a,f(2)=b,f(3)=c,f(4)=a\). Tenemos que \(f(23)=bc\), el cual no es un elemento de \(\Delta_{2}\), por lo que \(f\) no es un mapeo simplicial
• Sea \(g\colon X\to Y\) tal que \(g(1)=a,g(2)=c,g(3)=c,g(4)=a\). Entonces \(g\) es un mapeo simplicial.
• Sea \(h\colon X\to Y\) tal que \(h(1)=b,h(2)=a,h(3)=a,h(4)=c\). Entonces \(h\) es un mapeo simplicial.

Un mapeo simplicial \(f\colon \Delta_{1}\to\Delta_{2}\) induce una función continua \(|f|\colon |\Delta_{1}|\to |\Delta_{2}|\).

Demuestra que:

• el mapeo identidad \(\Delta\to\Delta\) es un mapeo simplicial.
• la composición de dos mapeos simpliciales es un mapeo simplicial.

Una categoría \(\mathbf{C}\) consta de:

• Una clase de objetos \(\mathrm{obj}\mathbf{C}\).
• Para cada pareja de objetos \(A,B\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\), un conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\), cuyos elementos se llaman morfismos de \(A\) en \(B\). Los morfismos tienen que satisfacer:
  • Para cada \(A,B,D\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\), existe una función \(\mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\times\hom_{\mathbf{C}}(B,D)\to \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,D)\) llamada composición, denotada \((f,g)\mapsto g\circ f\).
  • Si \(f\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\), \(g\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(B,D)\), \(h\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(D,E)\), se tiene que \(h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\).
  • Para cada \(A\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\), existe \(1_{A}\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,A)\) tal que si \(A,B\in \mathrm{obj}\mathbf{C}\) y \(f\in \mathrm{hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\), entonces \(1_{B}\circ f=f\circ 1_{A}=f\). El morfismo \(1_{A}\) se llama identidad en \(A\).

• Consideremos la categoría \(\mathbf{SimpComp}\) cuya clase de objetos es la clase de todos los complejos simpliciales abstractos y si \(\Delta_{1},\Delta_{2}\in \mathrm{obj}\mathbf{SimpComp}\), el conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{SimpComp}}(\Delta_{1},\Delta_{2})\) es el conjunto de los mapeos simpliciales de \(\Delta_{1}\) a \(\Delta_{2}\).
• La categoría \(\mathbf{Top}\), cuya clase de objetos es la clase de todos los espacios topológicos y si \(X,Y\) son espacios topológicos, el conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Top}}(X,Y)\) es el conjunto de las funciones continuas de \(X\) a \(Y\).
• La categoría \(\mathbf{Set}\), cuya clase de objetos es la clase de todos los conjuntos y si \(A,B\) son conjuntos, el conjunto \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Set}}(A,B)\) consta de las funciones de \(A\) en \(B\).
• La categoría Graph cuya clase de objetos es la clase de todas las gráficas y si \(G_{1},G_{2}\) son dos gráficas se tiene que \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Graph}}(G_{1},G_{2})\) consta de las funciones \(f\colon V(G_{1})\to V(G_{2})\) tales que si \(v_{1}\sim v_{2}\) en \(G_{1}\), entonces \(f(v_{1})\sim f(v_{2})\) en \(G_{2}\) o \(f(v_{1})=f(v_{2})\).
• La categoría Poset cuya clase de objetos es la clase de todos los conjuntos parcialmente ordenados y si \(P_{1},P_{2}\) son dos copos, \(\mathrm{hom}_{\mathbf{Poset}}(P_{1},P_{2})\) consta de las funciones \(f\colon P_{1}\to P_{2}\) tales que si \(x_{1}\leq x_{2}\) en \(P_{1}\) se tiene que \(f(x_{1})\leq f(x_{2})\) en \(P_{2}\).
• Sea \(F\) un campo. La categoría \(\mathbf{FVect}\) cuya clase de objetos son los espacios vectoriales sobre \(F\) y si \(V,W\) son \(F\)-espacios vectoriales, se tiene que \(\mathrm{hom}_{\mathbf{FVect}}(V,W)\) es el conjunto de las transformaciones lineales de \(V\) en \(W\).
• La categoría Grp de los grupos.
• La categoría AbGrp de los grupos abelianos.
• Sea \(G\) un grupo. Definiremos una categoría \(\mathbf{G}\), donde \(\mathrm{obj}\mathbf{G}=\{*\}\). Definimos \(\mathrm{hom}_{\mathbf{G}}(*,*)=G\). Definimos \(1_{*}\) como el elemento neutro de \(G\). Definimos \(\hom_{\mathbf{G}}(*,*)\times \hom_{\mathbf{G}}(*,*)\to \hom_{\mathbf{G}}(*,*) \) como la operación en el grupo.