Dos espacios métricos \(X,Y\) son homeomorfos si existen funciones \(f\colon X\to Y\), \(g\colon Y\to X\) continuas, tales que \(g\circ f=1_{X}\) y \(f\circ g=1_{Y}\). Esto se denota como \(X\cong Y\).

Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^{n}\) un conjunto afínmente independiente. Para \(v\in A\), definimos la función \(t_{v}\colon |A|\to \mathbb{R}\), donde \(t_{v}(\alpha)\) es la coordenada baricéntrica correspondiente a \(v\) de \(\alpha\) (es decir, \(\alpha=t_{v}(\alpha)v+\sum_{w\in A-\{v\}} t_{w}w \) y \(\sum_{w\in A}t_{w}=1\)). Entonces \(t_{v}\) es continua.

Sean \(X, Y\) dos espacios topológicos, y sean \(F_{1},F_{2}\subseteq X\) conjuntos cerrados tales que \(X=F_{1}\cup F_{2}\). Sean \(f_{1}\colon F_{1}\to Y\) y \(f_{2}\colon F_{2}\to Y\) funciones continuas. Supongamos que \(f_{1}(x)=f_{2}(x)\) si \(x\in F_{1}\cap F_{2}\). Entonces la función \(f\colon X\to Y\) definida como:

\begin{equation} \label{eq:1} f(x)= \begin{cases} f_{1}(x) & \text{si \(x\in F_{1}\)},\\ f_{2}(x) & \text{si \(x\in F_{2}\)} \end{cases} \end{equation}

es continua.

El lema del pegado puede extenderse por inducción al caso en el que \(X\) es igual a la unión de una cantidad finita de conjuntos cerrados.

Sea \(\Delta\) un complejo simplicial, y sea \(\phi\colon\Delta_{0}\to \mathbb{R}^{n}\) un encaje afín. Supongamos \(\alpha\in|\sigma|_{\phi}\cap|\tau|_{\phi}\). Para cada \(v\in \phi(\sigma)\) existe una función \(t_{v}^{\sigma}\) como en el lema 1.2. Si además \(v\in\phi(\tau)\), entonces existe una función \(t_{v}^{\tau}\). Como \(\phi\) es un encaje afín, existe \(\rho\in\Delta\) tal que \(|\rho|_{\phi}=|\sigma|_{\phi}\cap|\tau|_{\phi}\),

Sea \(\Delta\) un complejo simplicial. Sean \(\phi\colon\Delta_{0}\to \mathbb{R}^{n}\) y \(\psi\colon\Delta_{0}\to \mathbb{R}^{m}\) dos encajes afines. Entonces \(|\Delta|_{\phi}\) es homeomorfo a \(|\Delta|_{\psi}\).

Sea \(\Delta_{0}=\{x_{0},x_{1},\ldots,x_{k}\}\). Sea \(\alpha\in |\Delta|_{\phi}\). Entonces \(\alpha\in |\sigma|_{\phi}\) para algún \(\sigma\in\Delta\). Supongamos que \(\sigma=\{x_{i_{0}},x_{i_{i}},\ldots,x_{i_{s}}\}\). Supongamos \(\alpha=\sum_{j=0}^{s} t_{i_{j}}\phi(x_{i_{j}})\). Definimos \(f(\alpha)\) como \(f(\alpha)=\sum_{j=0}^{s} t_{i_{j}}\psi(x_{i_{j}})\). Para demostrar que la función \(f\colon |\Delta|_{\phi}\to |\Delta|_{\psi}\subseteq\mathbb{R}^{m}\) es continua, basta con demostrar que para cada simplejo \(\sigma\in\Delta\) se tiene que la función que extrae las coordenadas baricéntricas de \(|\sigma|_{\phi}\) es continua.

A cada complejo simplicial \(\Delta\) le queremos asociar un espacio topológico que denotaremos con \(|\Delta|\), que se llama su realización geométrica.

Vamos a considerar un número \(n\) suficientemente grande, y entonces \(|\Delta|\) será un subespacio de \(\mathbb{R}^{n}\).

Por cada simplejo de dimensión 0, ponemos un punto en \(\mathbb{R}^{n}\). Por cada simplejo de dimensión \(1\), ponemos un segmento de recta entre los puntos del simplejo. Por cada simplejo de dimensión 2, ponemos un triángulo entre sus vértices, etc.

• Consideremos el complejo simplicial \(\Delta_{1}\) con facetas \(\{\{1,2,3\},\{2,4\}\}\).
• \(\Delta_{2}\) con caras maximales \(\{12,23,34,145\}\).
• \(\Delta_{3}\) con caras maximales \(\{012,123,03\}\).
• \(\Delta_{4}\) con caras maximales \(\{145,246,356,12,23,13\}\).
• \(\Delta_{5}\) con caras maximales \(\{12345\}\) (4-simplejo).
• Tarea: \(\Delta_{6}\) con caras maximales \(\{124,126,134,135,156,235,245,236,346,456\}\).

Decimos que el conjunto \(\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\) es afínmente independiente si \(\{v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots,v_{d}-v_{0}\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\) es linealmente independiente. Por convención, todo conjunto con un solo punto es afínmente independiente.

Cuando un conjunto de puntos en \(\mathbb{R}^{n}\) es afínmente independiente, también se dice que los puntos están en posición general.

Tarea Demuestra que el conjunto \(\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\}\) es afínmente independiente si y solo si \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}=0\) y \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}=0\) implican que \(t_{0}=t_{1}=\cdots=t_{d}=0\). Por lo tanto, la propiedad de que un conjunto sea afínmente independiente no depende del punto escogido como \(v_{0}\).

Ejemplo En \(\mathbb{R}^{3}\), el conjunto \(\{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\) es afínmente independiente.

Tarea Demuestra que si un conjunto no es afínmente independiente, pasa uno de:

• hay tres puntos colineales
• hay cuatro puntos coplanares
• etc.

Consideremos el conjunto \(A=\{v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\) que sea afínmente independiente. El simplejo geométrico generado por \(A\) es el subespacio: \(|A|=\{\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}\mid t_{i}\geq 0, \sum_{i=0}^{d}t_{i}=1\}\subseteq \mathbb{R}^{n}\).

Por ejemplo, el simplejo geométrico generado por un punto es el mismo punto. Si \(A=\{v_{0},v_{1}\}\), entonces \(|A|\) es el segmento de recta de \(v_{0}\) a \(v_{1}\). Si \(A=\{v_{0},v_{1},v_{2}\}\), entonces \(|A|\) es el triángulo con vértices \(v_{0},v_{1},v_{2}\), etc.

Todo elemento de la forma \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}\) con \(t_{i}\geq0\) y \(\sum_{i=0}^{d}t_{i}=1\), se llama una combinación convexa de \(v_{0},v_{1},\ldots,v_{d}\).

Tarea Demuestra que si \(\alpha\in|A|\), los números \(t_{i}\) tales que \(\alpha=\sum_{i=0}^{d}t_{i}v_{i}\) están unívocamente determinados.

Sea \(X\) un conjunto finito. Un complejo simplicial \(\Delta\) en \(X\) es una colección de subconjuntos de \(X\) que es cerrada bajo inclusión. Es decir, si \(\sigma\in\Delta\) y \(\tau\subseteq\sigma\), entonces \(\tau\in\Delta\).

1. Sea \(X=\{1,2,3\}\). Sea \(\Delta=\{\emptyset,\{1,2\},\{1\},\{2\}\}\). Entonces \(\Delta\) es un complejo simplicial.
2. Sea \(X=\{1,2,3\}\). Sea \(\Delta=\{\}=\emptyset\). Entonces \(\Delta\) es un complejo simplicial.
3. Sea \(X=\{1,2,3\}\). Sea \(\Delta=\{\emptyset,\{1,2\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,3\}\}\). Entonces \(\Delta\) es un complejo simplicial.
4. Sea \(X\) cualquier conjunto finito. Sea \(\Delta=\mathcal{P}(X)\). Entonces \(\Delta\) es un complejo simplicial.
5. Observación Si \(\Delta\) es un complejo simplicial en \(X\), en particular \(\Delta\subseteq \mathcal{P}(X)\).
6. Si \(X=\{1,2,3,4\}\), entonces \(\{\{1,2\},\{1,3\}\}\) no es un complejo simplicial, pues no contiene a \(\{1\}\).
7. Si \(X=\{1,2,3,4\}\), entonces \(\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}\) no es un complejo simplicial, pues no contiene a \(\{2\}\).

Si \(\Delta\) es un complejo simplicial, sus elementos se llaman simplejos. Si \(\tau\subseteq\sigma\), decimos que \(\tau\) es una cara de \(\sigma\). La dimensión \(\dim\sigma\) de un simplejo \(\sigma\) es \(\dim\sigma=|\sigma|-1\). La dimensión de \(\Delta\) es \(\dim\Delta=\max\{\dim\sigma\mid \sigma\in\Delta\}\).

Sean \(\Delta_{1}\) y \(\Delta_{2}\) dos complejos simpliciales en \(X\). Decimos que \(\Delta_{1}\) es subcomplejo de \(\Delta_{2}\) si \(\Delta_{1}\subseteq \Delta_{2}\). Por ejemplo, si , \(\Delta_{2}=\{\emptyset,\{1,2\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,3\}\}\), el complejo simplicial \(\Delta_{1}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\}\}\) es subcomplejo de \(\Delta_{2}\).

Si \(\Delta\) es cualquier complejo simplicial y \(k\) es un número natural, definimos el \(k\)-esqueleto como \(\Delta^{(k)}=\{\sigma\in\Delta\mid \dim\sigma\leq k\}\). Por ejemplo, si \(X=\{1,2,3,4\}\) y \(\Delta=\{\emptyset,\{1,2\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,3\}\}\), tenemos que:

• \(\Delta^{(0)}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\}\}\),
• \(\Delta^{(1)}=\Delta\).

Como otro ejemplo, sea \(X=\{1,2,3,4\}\), sea \(\Delta=\mathcal{P}(X)\). Entonces:

• \(\Delta^{(0)}=\{\emptyset, 1,2,3,4\}\). (En adelante, haremos la convención de denotar, por ejemplo, a \(\{1\}\) como \(1\) y a \(\{1,2\}\) como \(12\))
• \(\Delta^{(1)}=\Delta^{(0)}\cup\{12,13,14,23,24,34\}\).
• \(\Delta^{(2)}=\Delta^{(1)}\cup\{123,134,234,124\}\).
• \(\Delta^{(3)}=\Delta=\Delta^{(4)}\).

Tarea Demuestra que para toda \(k\), el \(k\)-esqueleto de \(\Delta\) es un subcomplejo de \(\Delta\).

Sea \(\Delta\) un complejo simplicial. Un simplejo \(\sigma\in \Delta\) es una cara maximal, si \(\sigma\subseteq\tau\) para \(\tau\in\Delta\) implica que \(\sigma=\tau\). Por ejemplo, si \(X=\{1,2,3\}\), y \(\Delta=\{\emptyset,\{1,2\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,3\}\}\). Entonces las caras maximales \(\Delta\) de son \(\{1,2\}\) y \(\{1,3\}\). Las caras maximales también se suelen llamar facetas. Denotaremos a la colección de facetas del complejo simplicial \(\Delta\) como \(\mathcal{F}(\Delta)\).

Observación: Un complejo simplicial está determinado por sus caras maximales. Por ejemplo, sea \(\Delta\) el complejo simplicial con conjunto de caras maximales dado por \(\{123,124,134,234\}\). Entonces \(\Delta\) es esencialmente un tetraedro hueco.

Un espacio métrico es un conjunto \((X,d)\) donde tenemos una idea de cercanía. La función métrica \(d\) permite definir el concepto de función continua como una función que envía puntos cercanos en puntos cercanos. También se definen los conjuntos abiertos. Resulta que las propiedades de los conjuntos abiertos son suficientes para definir estructuras con el concepto de continuidad, con lo cual se generaliza el concepto de espacio métrico.

En una función entre espacios métricos \((X,d_{X})\), \((Y,d_{Y})\), dada por \(f\colon X\to Y\), decimos que es continua si para todo \(\epsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que si \(d(x,y)<\delta\) entonces \(d(f(x),f(y))<\epsilon\).

Se puede definir un conjunto \(U\subseteq X\) como abierto si para todo \(x\in U\) se tiene que existe \(\epsilon>0\) tal que \(B_{\epsilon}(x)\subseteq U\).

Con esta definición, se puede demostrar que \(f\colon X\to Y\) es continua si y solo si \(f^{-1}(U)\) es abierto en \(X\) para todo \(U\) abierto de \(Y\).

• Para cualquier conjunto \(X\), la colección \(\tau=\{\emptyset, X\}\) es una topología en \(X\).
• Dado \((X,d)\) un espacio métrico, la colección \(\tau=\{U\subseteq X\mid\text{para todo }x\in X\text{ existe un }\epsilon>0\text{ tal que }B_{\epsilon}(x)\subseteq U\}\) es una topología en \(X\).
• Un caso particular es \(X=\mathbb{R}^{n}\). Tenemos que \(X\) es un espacio métrico con la métrica usual. Si \(Y\subseteq X=\mathbb{R}^{n}\), se tiene una métrica en \(Y\) que está heredada de la métrica de \(X\). Usando tal métrica, se pueden definir abiertos en \(Y\), y por lo tanto, se le puede dar a \(Y\) una topología. En ese sentido, decimos que \(Y\) es un subespacio de \(\mathbb{R}^{n}\).

Si tenemos una función entre espacios topológicos \(f\colon X\to Y\), se dice que es continua si y solo si \(f^{-1}(U)\) es abierto en \(X\) para todo \(U\) abierto de \(Y\).